MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reccl 10898
Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
reccl ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccl
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 10200 . 2 1 ∈ ℂ
2 divcl 10897 . 2 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
31, 2mp3an1 1559 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2145  wne 2943  (class class class)co 6796  cc 10140  0cc0 10142  1c1 10143   / cdiv 10890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891
This theorem is referenced by:  divrec  10907  divrec2  10908  divass  10909  divdir  10916  divneg  10925  recrec  10928  rec11  10929  divdiv32  10939  conjmul  10948  recclzi  10956  reccld  11000  expclzlem  13091  exprec  13108  expdiv  13118  rlimdiv  14584  geoisumr  14816  cndrng  19990  divcn  22891  divccn  22896  divccncf  22929  dvexp3  23961  quotlem  24275  quotcl2  24277  quotdgr  24278  aareccl  24301  logtayllem  24626  logtayl  24627  cxpeq  24719  logrec  24722  dchrisum0lem2a  25427  dchrisum0lem2  25428  mulogsum  25442  pntlemr  25512  axcontlem2  26066  nvmul0or  27845  hvmul0or  28222  h1datomi  28780  nmopleid  29338
  Copyright terms: Public domain W3C validator