Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rebtwnz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rebtwnz 11825
 Description: There is a unique greatest integer less than or equal to a real number. Exercise 4 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
rebtwnz (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem rebtwnz
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl 10382 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2 zbtwnre 11824 . . 3 (-𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑦 ∈ ℤ (-𝐴𝑦𝑦 < (-𝐴 + 1)))
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑦 ∈ ℤ (-𝐴𝑦𝑦 < (-𝐴 + 1)))
4 znegcl 11450 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
5 znegcl 11450 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
6 zcn 11420 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
7 zcn 11420 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
8 negcon2 10372 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑦 = -𝑥𝑥 = -𝑦))
96, 7, 8syl2an 493 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 = -𝑥𝑥 = -𝑦))
105, 9reuhyp 4926 . . . 4 (𝑦 ∈ ℤ → ∃!𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = -𝑥)
11 breq2 4689 . . . . 5 (𝑦 = -𝑥 → (-𝐴𝑦 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
12 breq1 4688 . . . . 5 (𝑦 = -𝑥 → (𝑦 < (-𝐴 + 1) ↔ -𝑥 < (-𝐴 + 1)))
1311, 12anbi12d 747 . . . 4 (𝑦 = -𝑥 → ((-𝐴𝑦𝑦 < (-𝐴 + 1)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1))))
144, 10, 13reuxfr 4924 . . 3 (∃!𝑦 ∈ ℤ (-𝐴𝑦𝑦 < (-𝐴 + 1)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1)))
15 zre 11419 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
16 leneg 10569 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
1716ancoms 468 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
18 peano2rem 10386 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
19 ltneg 10566 . . . . . . . . 9 (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < 𝑥 ↔ -𝑥 < -(𝐴 − 1)))
2018, 19sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < 𝑥 ↔ -𝑥 < -(𝐴 − 1)))
21 1re 10077 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
22 ltsubadd 10536 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < 𝑥𝐴 < (𝑥 + 1)))
2321, 22mp3an2 1452 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < 𝑥𝐴 < (𝑥 + 1)))
24 recn 10064 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
25 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
26 negsubdi 10375 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 1) = (-𝐴 + 1))
2724, 25, 26sylancl 695 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → -(𝐴 − 1) = (-𝐴 + 1))
2827adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(𝐴 − 1) = (-𝐴 + 1))
2928breq2d 4697 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑥 < -(𝐴 − 1) ↔ -𝑥 < (-𝐴 + 1)))
3020, 23, 293bitr3d 298 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ -𝑥 < (-𝐴 + 1)))
3117, 30anbi12d 747 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1))))
3215, 31sylan2 490 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1))))
3332bicomd 213 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1)) ↔ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
3433reubidva 3155 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑥 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
3514, 34syl5bb 272 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑦 ∈ ℤ (-𝐴𝑦𝑦 < (-𝐴 + 1)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
363, 35mpbid 222 1 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∃!wreu 2943   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304  -cneg 10305  ℤcz 11415 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726 This theorem is referenced by:  flcl  12636  fllelt  12638  flflp1  12648  flbi  12657  ltflcei  33527
 Copyright terms: Public domain W3C validator