Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reasinsin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reasinsin 24668
 Description: The arcsine function composed with sin is equal to the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
reasinsin (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem reasinsin
StepHypRef Expression
1 neghalfpire 24262 . . . . . 6 -(π / 2) ∈ ℝ
21rexri 10135 . . . . 5 -(π / 2) ∈ ℝ*
3 halfpire 24261 . . . . . 6 (π / 2) ∈ ℝ
43rexri 10135 . . . . 5 (π / 2) ∈ ℝ*
5 pirp 24258 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ+
6 rphalfcl 11896 . . . . . . . . . 10 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (π / 2) ∈ ℝ+
8 rpgt0 11882 . . . . . . . . 9 ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 2))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 < (π / 2)
10 lt0neg2 10573 . . . . . . . . 9 ((π / 2) ∈ ℝ → (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0))
113, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0)
129, 11mpbi 220 . . . . . . 7 -(π / 2) < 0
13 0re 10078 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
141, 13, 3lttri 10201 . . . . . . 7 ((-(π / 2) < 0 ∧ 0 < (π / 2)) → -(π / 2) < (π / 2))
1512, 9, 14mp2an 708 . . . . . 6 -(π / 2) < (π / 2)
161, 3, 15ltleii 10198 . . . . 5 -(π / 2) ≤ (π / 2)
17 prunioo 12339 . . . . 5 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ* ∧ -(π / 2) ≤ (π / 2)) → ((-(π / 2)(,)(π / 2)) ∪ {-(π / 2), (π / 2)}) = (-(π / 2)[,](π / 2)))
182, 4, 16, 17mp3an 1464 . . . 4 ((-(π / 2)(,)(π / 2)) ∪ {-(π / 2), (π / 2)}) = (-(π / 2)[,](π / 2))
1918eleq2i 2722 . . 3 (𝐴 ∈ ((-(π / 2)(,)(π / 2)) ∪ {-(π / 2), (π / 2)}) ↔ 𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
20 elun 3786 . . 3 (𝐴 ∈ ((-(π / 2)(,)(π / 2)) ∪ {-(π / 2), (π / 2)}) ↔ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∨ 𝐴 ∈ {-(π / 2), (π / 2)}))
2119, 20bitr3i 266 . 2 (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∨ 𝐴 ∈ {-(π / 2), (π / 2)}))
22 elioore 12243 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2322recnd 10106 . . . 4 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2422rered 14008 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (ℜ‘𝐴) = 𝐴)
25 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
2624, 25eqeltrd 2730 . . . 4 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
27 asinsin 24664 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)
2823, 26, 27syl2anc 694 . . 3 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)
29 elpri 4230 . . . 4 (𝐴 ∈ {-(π / 2), (π / 2)} → (𝐴 = -(π / 2) ∨ 𝐴 = (π / 2)))
30 ax-1cn 10032 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
31 asinneg 24658 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℂ → (arcsin‘-1) = -(arcsin‘1))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . 7 (arcsin‘-1) = -(arcsin‘1)
33 asin1 24666 . . . . . . . 8 (arcsin‘1) = (π / 2)
3433negeqi 10312 . . . . . . 7 -(arcsin‘1) = -(π / 2)
3532, 34eqtri 2673 . . . . . 6 (arcsin‘-1) = -(π / 2)
36 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝐴 = -(π / 2) → (sin‘𝐴) = (sin‘-(π / 2)))
373recni 10090 . . . . . . . . . 10 (π / 2) ∈ ℂ
38 sinneg 14920 . . . . . . . . . 10 ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘-(π / 2)) = -(sin‘(π / 2)))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (sin‘-(π / 2)) = -(sin‘(π / 2))
40 sinhalfpi 24265 . . . . . . . . . 10 (sin‘(π / 2)) = 1
4140negeqi 10312 . . . . . . . . 9 -(sin‘(π / 2)) = -1
4239, 41eqtri 2673 . . . . . . . 8 (sin‘-(π / 2)) = -1
4336, 42syl6eq 2701 . . . . . . 7 (𝐴 = -(π / 2) → (sin‘𝐴) = -1)
4443fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝐴 = -(π / 2) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = (arcsin‘-1))
45 id 22 . . . . . 6 (𝐴 = -(π / 2) → 𝐴 = -(π / 2))
4635, 44, 453eqtr4a 2711 . . . . 5 (𝐴 = -(π / 2) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)
47 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝐴 = (π / 2) → (sin‘𝐴) = (sin‘(π / 2)))
4847, 40syl6eq 2701 . . . . . . 7 (𝐴 = (π / 2) → (sin‘𝐴) = 1)
4948fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝐴 = (π / 2) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = (arcsin‘1))
50 id 22 . . . . . 6 (𝐴 = (π / 2) → 𝐴 = (π / 2))
5133, 49, 503eqtr4a 2711 . . . . 5 (𝐴 = (π / 2) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)
5246, 51jaoi 393 . . . 4 ((𝐴 = -(π / 2) ∨ 𝐴 = (π / 2)) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)
5329, 52syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ {-(π / 2), (π / 2)} → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)
5428, 53jaoi 393 . 2 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∨ 𝐴 ∈ {-(π / 2), (π / 2)}) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)
5521, 54sylbi 207 1 (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ∪ cun 3605  {cpr 4212   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113  -cneg 10305   / cdiv 10722  2c2 11108  ℝ+crp 11870  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  ℜcre 13881  sincsin 14838  πcpi 14841  arcsincasin 24634 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-asin 24637 This theorem is referenced by:  asinrebnd  24673
 Copyright terms: Public domain W3C validator