MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  re2ndc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem re2ndc 22651
Description: The standard topology on the reals is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
re2ndc (topGen‘ran (,)) ∈ 2nd𝜔

Proof of Theorem re2ndc
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . 3 (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
21tgqioo 22650 . 2 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
3 qtopbas 22610 . . 3 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases
4 omelon 8581 . . . . . 6 ω ∈ On
5 qnnen 14986 . . . . . . . . 9 ℚ ≈ ℕ
6 xpen 8164 . . . . . . . . 9 ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℚ ≈ ℕ) → (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ))
75, 5, 6mp2an 708 . . . . . . . 8 (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ)
8 xpnnen 14983 . . . . . . . 8 (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
97, 8entri 8051 . . . . . . 7 (ℚ × ℚ) ≈ ℕ
10 nnenom 12819 . . . . . . 7 ℕ ≈ ω
119, 10entr2i 8052 . . . . . 6 ω ≈ (ℚ × ℚ)
12 isnumi 8810 . . . . . 6 ((ω ∈ On ∧ ω ≈ (ℚ × ℚ)) → (ℚ × ℚ) ∈ dom card)
134, 11, 12mp2an 708 . . . . 5 (ℚ × ℚ) ∈ dom card
14 ioof 12309 . . . . . . 7 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
15 ffun 6086 . . . . . . 7 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6 Fun (,)
17 qssre 11836 . . . . . . . . 9 ℚ ⊆ ℝ
18 ressxr 10121 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ*
1917, 18sstri 3645 . . . . . . . 8 ℚ ⊆ ℝ*
20 xpss12 5158 . . . . . . . 8 ((ℚ ⊆ ℝ* ∧ ℚ ⊆ ℝ*) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
2119, 19, 20mp2an 708 . . . . . . 7 (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
2214fdmi 6090 . . . . . . 7 dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
2321, 22sseqtr4i 3671 . . . . . 6 (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)
24 fores 6162 . . . . . 6 ((Fun (,) ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)) → ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)))
2516, 23, 24mp2an 708 . . . . 5 ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ))
26 fodomnum 8918 . . . . 5 ((ℚ × ℚ) ∈ dom card → (((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)))
2713, 25, 26mp2 9 . . . 4 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)
289, 10entri 8051 . . . 4 (ℚ × ℚ) ≈ ω
29 domentr 8056 . . . 4 ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ) ∧ (ℚ × ℚ) ≈ ω) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω)
3027, 28, 29mp2an 708 . . 3 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω
31 2ndci 21299 . . 3 ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω) → (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ∈ 2nd𝜔)
323, 30, 31mp2an 708 . 2 (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ∈ 2nd𝜔
332, 32eqeltri 2726 1 (topGen‘ran (,)) ∈ 2nd𝜔
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2030  wss 3607  𝒫 cpw 4191   class class class wbr 4685   × cxp 5141  dom cdm 5143  ran crn 5144  cres 5145  cima 5146  Oncon0 5761  Fun wfun 5920  wf 5922  ontowfo 5924  cfv 5926  ωcom 7107  cen 7994  cdom 7995  cardccrd 8799  cr 9973  *cxr 10111  cn 11058  cq 11826  (,)cioo 12213  topGenctg 16145  TopBasesctb 20797  2nd𝜔c2ndc 21289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-ioo 12217  df-topgen 16151  df-bases 20798  df-2ndc 21291
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator