Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rdivmuldivd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rdivmuldivd 30131
 Description: Multiplication of two ratios. Theorem I.14 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrdir.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrdir.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrdir.p + = (+g𝑅)
dvrdir.t / = (/r𝑅)
rdivmuldivd.p · = (.r𝑅)
rdivmuldivd.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
rdivmuldivd.a (𝜑𝑋𝐵)
rdivmuldivd.b (𝜑𝑌𝑈)
rdivmuldivd.c (𝜑𝑍𝐵)
rdivmuldivd.d (𝜑𝑊𝑈)
Assertion
Ref Expression
rdivmuldivd (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))

Proof of Theorem rdivmuldivd
StepHypRef Expression
1 rdivmuldivd.a . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
2 rdivmuldivd.b . . . 4 (𝜑𝑌𝑈)
3 dvrdir.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 rdivmuldivd.p . . . . . 6 · = (.r𝑅)
5 dvrdir.u . . . . . 6 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6 eqid 2771 . . . . . 6 (invr𝑅) = (invr𝑅)
7 dvrdir.t . . . . . 6 / = (/r𝑅)
83, 4, 5, 6, 7dvrval 18893 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)))
98oveq1d 6811 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)))
101, 2, 9syl2anc 573 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)))
11 rdivmuldivd.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
12 crngring 18766 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
1311, 12syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
143, 5unitss 18868 . . . . 5 𝑈𝐵
155, 6unitinvcl 18882 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
1613, 2, 15syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑈)
1714, 16sseldi 3750 . . . 4 (𝜑 → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
18 rdivmuldivd.c . . . . 5 (𝜑𝑍𝐵)
19 rdivmuldivd.d . . . . 5 (𝜑𝑊𝑈)
203, 5, 7dvrcl 18894 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝐵𝑊𝑈) → (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)
2113, 18, 19, 20syl3anc 1476 . . . 4 (𝜑 → (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)
223, 4ringass 18772 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (((invr𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))))
2313, 1, 17, 21, 22syl13anc 1478 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (((invr𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))))
243, 4crngcom 18770 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵) → (((invr𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌)))
2511, 17, 21, 24syl3anc 1476 . . . 4 (𝜑 → (((invr𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌)))
2625oveq2d 6812 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · (((invr𝑅)‘𝑌) · (𝑍 / 𝑊))) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
2710, 23, 263eqtrd 2809 . 2 (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
28 eqid 2771 . . . . . . . 8 ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
295, 28unitgrp 18875 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
3013, 29syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
315, 28unitgrpbas 18874 . . . . . . 7 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
32 eqid 2771 . . . . . . 7 (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
335, 28, 6invrfval 18881 . . . . . . 7 (invr𝑅) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
3431, 32, 33grpinvadd 17701 . . . . . 6 ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑌𝑈𝑊𝑈) → ((invr𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = (((invr𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr𝑅)‘𝑌)))
3530, 2, 19, 34syl3anc 1476 . . . . 5 (𝜑 → ((invr𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)) = (((invr𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr𝑅)‘𝑌)))
365fvexi 6345 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ V
37 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (𝑅s 𝑈) = (𝑅s 𝑈)
38 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3937, 38mgpress 18708 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ V) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = (mulGrp‘(𝑅s 𝑈)))
4013, 36, 39sylancl 574 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = (mulGrp‘(𝑅s 𝑈)))
4140fveq2d 6337 . . . . . . . 8 (𝜑 → (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝑈))))
42 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘(𝑅s 𝑈)) = (mulGrp‘(𝑅s 𝑈))
4337, 4ressmulr 16214 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ V → · = (.r‘(𝑅s 𝑈)))
4436, 43ax-mp 5 . . . . . . . . 9 · = (.r‘(𝑅s 𝑈))
4542, 44mgpplusg 18701 . . . . . . . 8 · = (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝑈)))
4641, 45syl6reqr 2824 . . . . . . 7 (𝜑· = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
4746oveqd 6813 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 · 𝑊) = (𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊))
4847fveq2d 6337 . . . . 5 (𝜑 → ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑊)) = ((invr𝑅)‘(𝑌(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑊)))
4946oveqd 6813 . . . . 5 (𝜑 → (((invr𝑅)‘𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = (((invr𝑅)‘𝑊)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invr𝑅)‘𝑌)))
5035, 48, 493eqtr4d 2815 . . . 4 (𝜑 → ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑊)) = (((invr𝑅)‘𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌)))
5150oveq2d 6812 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr𝑅)‘𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
523, 4ringcl 18769 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
5313, 1, 18, 52syl3anc 1476 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
545, 4unitmulcl 18872 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈𝑊𝑈) → (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈)
5513, 2, 19, 54syl3anc 1476 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈)
563, 4, 5, 6, 7dvrval 18893 . . . 4 (((𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑊) ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))))
5753, 55, 56syl2anc 573 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘(𝑌 · 𝑊))))
585, 6unitinvcl 18882 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑊𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑊) ∈ 𝑈)
5913, 19, 58syl2anc 573 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((invr𝑅)‘𝑊) ∈ 𝑈)
6014, 59sseldi 3750 . . . . . . 7 (𝜑 → ((invr𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵)
613, 4ringass 18772 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑍𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑊))))
6213, 1, 18, 60, 61syl13anc 1478 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑊))))
633, 4, 5, 6, 7dvrval 18893 . . . . . . . 8 ((𝑍𝐵𝑊𝑈) → (𝑍 / 𝑊) = (𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑊)))
6418, 19, 63syl2anc 573 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍 / 𝑊) = (𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑊)))
6564oveq2d 6812 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr𝑅)‘𝑊))))
6662, 65eqtr4d 2808 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑊)) = (𝑋 · (𝑍 / 𝑊)))
6766oveq1d 6811 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑊)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr𝑅)‘𝑌)))
683, 4ringass 18772 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑊)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr𝑅)‘𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
6913, 53, 60, 17, 68syl13anc 1478 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 · 𝑍) · ((invr𝑅)‘𝑊)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr𝑅)‘𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
703, 4ringass 18772 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑍 / 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
7113, 1, 21, 17, 70syl13anc 1478 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑍 / 𝑊)) · ((invr𝑅)‘𝑌)) = (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
7267, 69, 713eqtr3rd 2814 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))) = ((𝑋 · 𝑍) · (((invr𝑅)‘𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))))
7351, 57, 723eqtr4rd 2816 . 2 (𝜑 → (𝑋 · ((𝑍 / 𝑊) · ((invr𝑅)‘𝑌))) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))
7427, 73eqtrd 2805 1 (𝜑 → ((𝑋 / 𝑌) · (𝑍 / 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) / (𝑌 · 𝑊)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064   ↾s cress 16065  +gcplusg 16149  .rcmulr 16150  Grpcgrp 17630  mulGrpcmgp 18697  Ringcrg 18755  CRingccrg 18756  Unitcui 18847  invrcinvr 18879  /rcdvr 18890 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-tpos 7508  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-cmn 18402  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891 This theorem is referenced by:  qqhrhm  30373
 Copyright terms: Public domain W3C validator