Theorem rankuni2 8882

Description: The rank of a union. Part of Theorem 15.17(iv) of [Monk1] p. 112. (Contributed by NM, 30-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ranksn.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankuni2	⊢ (rank‘∪ 𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (rank‘𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem rankuni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ranksn.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		unir1 8840	. . 3 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
3	1, 2	eleqtrri 2849	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)
4		rankuni2b 8880	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘∪ 𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (rank‘𝑥))
5	3, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (rank‘∪ 𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (rank‘𝑥)

Syntax hints:   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351  ∪ cuni 4574  ∪ ciun 4654   “ cima 5252  Oncon0 5866  ‘cfv 6031  𝑅₁cr1 8789  rankcrnk 8790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-reg 8653  ax-inf2 8702

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-r1 8791  df-rank 8792

This theorem is referenced by:  rankuni  8890  rankbnd2  8896