MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankon 8696
Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
rankon (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon
StepHypRef Expression
1 rankf 8695 . 2 rank: (𝑅1 “ On)⟶On
2 0elon 5816 . 2 ∅ ∈ On
31, 2f0cli 6410 1 (rank‘𝐴) ∈ On
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2030   cuni 4468  cima 5146  Oncon0 5761  cfv 5926  𝑅1cr1 8663  rankcrnk 8664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-r1 8665  df-rank 8666
This theorem is referenced by:  rankr1ai  8699  rankr1bg  8704  rankr1clem  8721  rankr1c  8722  rankpwi  8724  rankelb  8725  wfelirr  8726  rankval3b  8727  ranksnb  8728  rankr1a  8737  bndrank  8742  unbndrank  8743  rankunb  8751  rankprb  8752  rankuni2b  8754  rankuni  8764  rankuniss  8767  rankval4  8768  rankbnd2  8770  rankc1  8771  rankc2  8772  rankelun  8773  rankelpr  8774  rankelop  8775  rankmapu  8779  rankxplim  8780  rankxplim3  8782  rankxpsuc  8783  tcrank  8785  scottex  8786  scott0  8787  dfac12lem2  9004  hsmexlem5  9290  r1limwun  9596  wunex3  9601  rankcf  9637  grur1  9680  elhf2  32407  hfuni  32416  dfac11  37949
  Copyright terms: Public domain W3C validator