Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramz 15776
 Description: The Ramsey number when 𝐹 is the zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ramz ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)

Proof of Theorem ramz
Dummy variables 𝑐 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 11332 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
2 n0 3964 . . . . . 6 (𝑅 ≠ ∅ ↔ ∃𝑐 𝑐𝑅)
3 simpll 805 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) ∧ 𝑐𝑅) → 𝑀 ∈ ℕ)
4 simplr 807 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) ∧ 𝑐𝑅) → 𝑅𝑉)
5 0nn0 11345 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
65fconst6 6133 . . . . . . . . . 10 (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0
76a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) ∧ 𝑐𝑅) → (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0)
8 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) ∧ 𝑐𝑅) → 𝑐𝑅)
9 fvconst2g 6508 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℕ0𝑐𝑅) → ((𝑅 × {0})‘𝑐) = 0)
105, 8, 9sylancr 696 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) ∧ 𝑐𝑅) → ((𝑅 × {0})‘𝑐) = 0)
11 ramz2 15775 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉 ∧ (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝑐𝑅 ∧ ((𝑅 × {0})‘𝑐) = 0)) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
123, 4, 7, 8, 10, 11syl32anc 1374 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) ∧ 𝑐𝑅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
1312ex 449 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → (𝑐𝑅 → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
1413exlimdv 1901 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → (∃𝑐 𝑐𝑅 → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
152, 14syl5bi 232 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → (𝑅 ≠ ∅ → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
1615expimpd 628 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
17 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → 𝑅𝑉)
18 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → 𝑅 ≠ ∅)
196a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0)
20 0z 11426 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
21 elsni 4227 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ {0} → 𝑦 = 0)
22 0le0 11148 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 0
2321, 22syl6eqbr 4724 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {0} → 𝑦 ≤ 0)
2423rgen 2951 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ {0}𝑦 ≤ 0
25 rnxp 5599 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ≠ ∅ → ran (𝑅 × {0}) = {0})
2625adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → ran (𝑅 × {0}) = {0})
2726raleqdv 3174 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 0 ↔ ∀𝑦 ∈ {0}𝑦 ≤ 0))
2824, 27mpbiri 248 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 0)
29 breq2 4689 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (𝑦𝑥𝑦 ≤ 0))
3029ralbidv 3015 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 0))
3130rspcev 3340 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦 ≤ 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦𝑥)
3220, 28, 31sylancr 696 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦𝑥)
33 0ram 15771 . . . . . . 7 (((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅ ∧ (𝑅 × {0}):𝑅⟶ℕ0) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ran (𝑅 × {0})𝑦𝑥) → (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = sup(ran (𝑅 × {0}), ℝ, < ))
3417, 18, 19, 32, 33syl31anc 1369 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = sup(ran (𝑅 × {0}), ℝ, < ))
3526supeq1d 8393 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → sup(ran (𝑅 × {0}), ℝ, < ) = sup({0}, ℝ, < ))
36 ltso 10156 . . . . . . . 8 < Or ℝ
37 0re 10078 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
38 supsn 8419 . . . . . . . 8 (( < Or ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → sup({0}, ℝ, < ) = 0)
3936, 37, 38mp2an 708 . . . . . . 7 sup({0}, ℝ, < ) = 0
4039a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → sup({0}, ℝ, < ) = 0)
4134, 35, 403eqtrd 2689 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
42 oveq1 6697 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = (0 Ramsey (𝑅 × {0})))
4342eqeq1d 2653 . . . . 5 (𝑀 = 0 → ((𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0 ↔ (0 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
4441, 43syl5ibr 236 . . . 4 (𝑀 = 0 → ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
4516, 44jaoi 393 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) → ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
461, 45sylbi 207 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0))
47463impib 1281 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝑅 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523  ∃wex 1744   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  ∅c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685   Or wor 5063   × cxp 5141  ran crn 5144  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  supcsup 8387  ℝcr 9973  0cc0 9974   < clt 10112   ≤ cle 10113  ℕcn 11058  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415   Ramsey cram 15750 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-seq 12842  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-ram 15752 This theorem is referenced by:  ramcl  15780
 Copyright terms: Public domain W3C validator