Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramub2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramub2 15912
 Description: It is sufficient to check the Ramsey property on finite sets of size equal to the upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rami.c 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
rami.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
rami.r (𝜑𝑅𝑉)
rami.f (𝜑𝐹:𝑅⟶ℕ0)
ramub2.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
ramub2.i ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})))
Assertion
Ref Expression
ramub2 (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,𝑠,𝑥,𝐶   𝜑,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥   𝐹,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥   𝑎,𝑏,𝑐,𝑓,𝑖,𝑠,𝑥,𝑀   𝑅,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥   𝑁,𝑎,𝑐,𝑓,𝑖,𝑠,𝑥   𝑉,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐶(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑏)   𝑉(𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem ramub2
Dummy variables 𝑔 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rami.c . 2 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2 rami.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
3 rami.r . 2 (𝜑𝑅𝑉)
4 rami.f . 2 (𝜑𝐹:𝑅⟶ℕ0)
5 ramub2.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
65adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7 hashfz1 13320 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
9 simprl 811 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑡))
108, 9eqbrtrd 4818 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → (♯‘(1...𝑁)) ≤ (♯‘𝑡))
11 fzfid 12958 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → (1...𝑁) ∈ Fin)
12 vex 3335 . . . . . 6 𝑡 ∈ V
13 hashdom 13352 . . . . . 6 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ V) → ((♯‘(1...𝑁)) ≤ (♯‘𝑡) ↔ (1...𝑁) ≼ 𝑡))
1411, 12, 13sylancl 697 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ((♯‘(1...𝑁)) ≤ (♯‘𝑡) ↔ (1...𝑁) ≼ 𝑡))
1510, 14mpbid 222 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → (1...𝑁) ≼ 𝑡)
1612domen 8126 . . . 4 ((1...𝑁) ≼ 𝑡 ↔ ∃𝑠((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡))
1715, 16sylib 208 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑠((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡))
18 simpll 807 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → 𝜑)
19 ensym 8162 . . . . . . . 8 ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠 ≈ (1...𝑁))
2019ad2antrl 766 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → 𝑠 ≈ (1...𝑁))
21 hasheni 13322 . . . . . . 7 (𝑠 ≈ (1...𝑁) → (♯‘𝑠) = (♯‘(1...𝑁)))
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (♯‘𝑠) = (♯‘(1...𝑁)))
235ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2423, 7syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
2522, 24eqtrd 2786 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (♯‘𝑠) = 𝑁)
26 simplrr 820 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)
2712a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → 𝑡 ∈ V)
28 simprr 813 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → 𝑠𝑡)
292ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
301hashbcss 15902 . . . . . . 7 ((𝑡 ∈ V ∧ 𝑠𝑡𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑠𝐶𝑀) ⊆ (𝑡𝐶𝑀))
3127, 28, 29, 30syl3anc 1473 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (𝑠𝐶𝑀) ⊆ (𝑡𝐶𝑀))
3226, 31fssresd 6224 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)
33 vex 3335 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
3433resex 5593 . . . . . 6 (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) ∈ V
35 feq1 6179 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅 ↔ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅))
3635anbi2d 742 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (((♯‘𝑠) = 𝑁𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅) ↔ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)))
3736anbi2d 742 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) ↔ (𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅))))
38 cnveq 5443 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → 𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)))
3938imaeq1d 5615 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑓 “ {𝑐}) = ((𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) “ {𝑐}))
40 cnvresima 5776 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) “ {𝑐}) = ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))
4139, 40syl6eq 2802 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑓 “ {𝑐}) = ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))
4241sseq2d 3766 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐}) ↔ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))))
4342anbi2d 742 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})) ↔ ((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))))
44432rexbidv 3187 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})) ↔ ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))))
4537, 44imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐}))) ↔ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))))))
46 ramub2.i . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})))
4734, 45, 46vtocl 3391 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))))
4818, 25, 32, 47syl12anc 1471 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))))
49 sstr 3744 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑠𝑠𝑡) → 𝑥𝑡)
5049expcom 450 . . . . . . . . 9 (𝑠𝑡 → (𝑥𝑠𝑥𝑡))
5150ad2antll 767 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (𝑥𝑠𝑥𝑡))
52 selpw 4301 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠𝑥𝑠)
53 selpw 4301 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑡𝑥𝑡)
5451, 52, 533imtr4g 285 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠𝑥 ∈ 𝒫 𝑡))
55 id 22 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))
56 inss1 3968 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)) ⊆ (𝑔 “ {𝑐})
5755, 56syl6ss 3748 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐}))
5857a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐})))
5958anim2d 590 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))) → ((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐}))))
6054, 59anim12d 587 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ ((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑡 ∧ ((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐})))))
6160reximdv2 3144 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐}))))
6261reximdv 3146 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐}))))
6348, 62mpd 15 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐})))
6417, 63exlimddv 2004 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐})))
651, 2, 3, 4, 5, 64ramub 15911 1 (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1624  ∃wex 1845   ∈ wcel 2131  ∃wrex 3043  {crab 3046  Vcvv 3332   ∩ cin 3706   ⊆ wss 3707  𝒫 cpw 4294  {csn 4313   class class class wbr 4796  ◡ccnv 5257   ↾ cres 5260   “ cima 5261  ⟶wf 6037  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805   ↦ cmpt2 6807   ≈ cen 8110   ≼ cdom 8111  Fincfn 8113  1c1 10121   ≤ cle 10259  ℕ0cn0 11476  ...cfz 12511  ♯chash 13303   Ramsey cram 15897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-inf 8506  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-n0 11477  df-xnn0 11548  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-hash 13304  df-ram 15899 This theorem is referenced by:  ramub1  15926
 Copyright terms: Public domain W3C validator