MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramub1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramub1lem2 15925
Description: Lemma for ramub1 15926. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ramub1.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
ramub1.r (𝜑𝑅 ∈ Fin)
ramub1.f (𝜑𝐹:𝑅⟶ℕ)
ramub1.g 𝐺 = (𝑥𝑅 ↦ (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝐹𝑥) − 1), (𝐹𝑦)))))
ramub1.1 (𝜑𝐺:𝑅⟶ℕ0)
ramub1.2 (𝜑 → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0)
ramub1.3 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
ramub1.4 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
ramub1.5 (𝜑 → (♯‘𝑆) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))
ramub1.6 (𝜑𝐾:(𝑆𝐶𝑀)⟶𝑅)
ramub1.x (𝜑𝑋𝑆)
ramub1.h 𝐻 = (𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1)) ↦ (𝐾‘(𝑢 ∪ {𝑋})))
Assertion
Ref Expression
ramub1lem2 (𝜑 → ∃𝑐𝑅𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑐,𝑦,𝑧,𝐹   𝑎,𝑏,𝑐,𝑖,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝑀   𝐺,𝑎,𝑐,𝑖,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑐,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑐,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑎,𝑐,𝑖,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑐,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝐻,𝑐,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝐾,𝑐,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑋,𝑎,𝑐,𝑖,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐶(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑏)   𝐹(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐺(𝑏)   𝐻(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑏)

Proof of Theorem ramub1lem2
Dummy variables 𝑑 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ramub1.3 . . 3 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2 ramub1.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 nnm1nn0 11518 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
5 ramub1.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Fin)
6 ramub1.1 . . 3 (𝜑𝐺:𝑅⟶ℕ0)
7 ramub1.2 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0)
8 ramub1.4 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
9 diffi 8349 . . . 4 (𝑆 ∈ Fin → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ Fin)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ Fin)
117nn0red 11536 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℝ)
1211leidd 10778 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ≤ ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺))
13 hashcl 13331 . . . . . . 7 ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ Fin → (♯‘(𝑆 ∖ {𝑋})) ∈ ℕ0)
1410, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝑆 ∖ {𝑋})) ∈ ℕ0)
1514nn0cnd 11537 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑆 ∖ {𝑋})) ∈ ℂ)
167nn0cnd 11537 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℂ)
17 1cnd 10240 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
18 undif1 4179 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋}) = (𝑆 ∪ {𝑋})
19 ramub1.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑆)
2019snssd 4477 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑆)
21 ssequn2 3921 . . . . . . . . 9 ({𝑋} ⊆ 𝑆 ↔ (𝑆 ∪ {𝑋}) = 𝑆)
2220, 21sylib 208 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 ∪ {𝑋}) = 𝑆)
2318, 22syl5eq 2798 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋}) = 𝑆)
2423fveq2d 6348 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘((𝑆 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋})) = (♯‘𝑆))
25 neldifsnd 4460 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
26 hashunsng 13365 . . . . . . . 8 (𝑋𝑆 → (((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ Fin ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (♯‘((𝑆 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋})) = ((♯‘(𝑆 ∖ {𝑋})) + 1)))
2719, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ Fin ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (♯‘((𝑆 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋})) = ((♯‘(𝑆 ∖ {𝑋})) + 1)))
2810, 25, 27mp2and 717 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘((𝑆 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋})) = ((♯‘(𝑆 ∖ {𝑋})) + 1))
29 ramub1.5 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑆) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))
3024, 28, 293eqtr3d 2794 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘(𝑆 ∖ {𝑋})) + 1) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))
3115, 16, 17, 30addcan2ad 10426 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑆 ∖ {𝑋})) = ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺))
3212, 31breqtrrd 4824 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ≤ (♯‘(𝑆 ∖ {𝑋})))
33 ramub1.6 . . . . . 6 (𝜑𝐾:(𝑆𝐶𝑀)⟶𝑅)
3433adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → 𝐾:(𝑆𝐶𝑀)⟶𝑅)
351hashbcval 15900 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ Fin ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1)) = {𝑥 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋}) ∣ (♯‘𝑥) = (𝑀 − 1)})
3610, 4, 35syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1)) = {𝑥 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋}) ∣ (♯‘𝑥) = (𝑀 − 1)})
3736eleq2d 2817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1)) ↔ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋}) ∣ (♯‘𝑥) = (𝑀 − 1)}))
38 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑢 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝑢))
3938eqeq1d 2754 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑢 → ((♯‘𝑥) = (𝑀 − 1) ↔ (♯‘𝑢) = (𝑀 − 1)))
4039elrab 3496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋}) ∣ (♯‘𝑥) = (𝑀 − 1)} ↔ (𝑢 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ (♯‘𝑢) = (𝑀 − 1)))
4137, 40syl6bb 276 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1)) ↔ (𝑢 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ (♯‘𝑢) = (𝑀 − 1))))
4241simprbda 654 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → 𝑢 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋}))
4342elpwid 4306 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → 𝑢 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑋}))
4443difss2d 3875 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → 𝑢𝑆)
4520adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → {𝑋} ⊆ 𝑆)
4644, 45unssd 3924 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → (𝑢 ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑆)
47 vex 3335 . . . . . . . . . 10 𝑢 ∈ V
48 snex 5049 . . . . . . . . . 10 {𝑋} ∈ V
4947, 48unex 7113 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∪ {𝑋}) ∈ V
5049elpw 4300 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∪ {𝑋}) ∈ 𝒫 𝑆 ↔ (𝑢 ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑆)
5146, 50sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → (𝑢 ∪ {𝑋}) ∈ 𝒫 𝑆)
5210adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ Fin)
53 ssfi 8337 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑢 ∈ Fin)
5452, 43, 53syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → 𝑢 ∈ Fin)
55 neldifsnd 4460 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
5643, 55ssneldd 3739 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → ¬ 𝑋𝑢)
5719adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → 𝑋𝑆)
58 hashunsng 13365 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝑆 → ((𝑢 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑋𝑢) → (♯‘(𝑢 ∪ {𝑋})) = ((♯‘𝑢) + 1)))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → ((𝑢 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑋𝑢) → (♯‘(𝑢 ∪ {𝑋})) = ((♯‘𝑢) + 1)))
6054, 56, 59mp2and 717 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → (♯‘(𝑢 ∪ {𝑋})) = ((♯‘𝑢) + 1))
6141simplbda 655 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → (♯‘𝑢) = (𝑀 − 1))
6261oveq1d 6820 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → ((♯‘𝑢) + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
632nncnd 11220 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
64 ax-1cn 10178 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
65 npcan 10474 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
6663, 64, 65sylancl 697 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
6766adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
6860, 62, 673eqtrd 2790 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → (♯‘(𝑢 ∪ {𝑋})) = 𝑀)
69 fveq2 6344 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑢 ∪ {𝑋}) → (♯‘𝑥) = (♯‘(𝑢 ∪ {𝑋})))
7069eqeq1d 2754 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑢 ∪ {𝑋}) → ((♯‘𝑥) = 𝑀 ↔ (♯‘(𝑢 ∪ {𝑋})) = 𝑀))
7170elrab 3496 . . . . . . 7 ((𝑢 ∪ {𝑋}) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀} ↔ ((𝑢 ∪ {𝑋}) ∈ 𝒫 𝑆 ∧ (♯‘(𝑢 ∪ {𝑋})) = 𝑀))
7251, 68, 71sylanbrc 701 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → (𝑢 ∪ {𝑋}) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀})
732nnnn0d 11535 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
741hashbcval 15900 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑆𝐶𝑀) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀})
758, 73, 74syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝐶𝑀) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀})
7675adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → (𝑆𝐶𝑀) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀})
7772, 76eleqtrrd 2834 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → (𝑢 ∪ {𝑋}) ∈ (𝑆𝐶𝑀))
7834, 77ffvelrnd 6515 . . . 4 ((𝜑𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))) → (𝐾‘(𝑢 ∪ {𝑋})) ∈ 𝑅)
79 ramub1.h . . . 4 𝐻 = (𝑢 ∈ ((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1)) ↦ (𝐾‘(𝑢 ∪ {𝑋})))
8078, 79fmptd 6540 . . 3 (𝜑𝐻:((𝑆 ∖ {𝑋})𝐶(𝑀 − 1))⟶𝑅)
811, 4, 5, 6, 7, 10, 32, 80rami 15913 . 2 (𝜑 → ∃𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))
8273adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
835adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → 𝑅 ∈ Fin)
84 ramub1.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑅⟶ℕ)
8584adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → 𝐹:𝑅⟶ℕ)
86 simprll 821 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → 𝑑𝑅)
8785, 86ffvelrnd 6515 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (𝐹𝑑) ∈ ℕ)
88 nnm1nn0 11518 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑑) ∈ ℕ → ((𝐹𝑑) − 1) ∈ ℕ0)
8987, 88syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → ((𝐹𝑑) − 1) ∈ ℕ0)
9089adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ 𝑦𝑅) → ((𝐹𝑑) − 1) ∈ ℕ0)
9185ffvelrnda 6514 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ 𝑦𝑅) → (𝐹𝑦) ∈ ℕ)
9291nnnn0d 11535 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ 𝑦𝑅) → (𝐹𝑦) ∈ ℕ0)
9390, 92ifcld 4267 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ 𝑦𝑅) → if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)) ∈ ℕ0)
94 eqid 2752 . . . . . . 7 (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦))) = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))
9593, 94fmptd 6540 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦))):𝑅⟶ℕ0)
96 equequ2 2100 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑑 → (𝑦 = 𝑥𝑦 = 𝑑))
97 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑑 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑑))
9897oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑑 → ((𝐹𝑥) − 1) = ((𝐹𝑑) − 1))
9996, 98ifbieq1d 4245 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑑 → if(𝑦 = 𝑥, ((𝐹𝑥) − 1), (𝐹𝑦)) = if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))
10099mpteq2dv 4889 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑑 → (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝐹𝑥) − 1), (𝐹𝑦))) = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦))))
101100oveq2d 6821 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑑 → (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝐹𝑥) − 1), (𝐹𝑦)))) = (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))))
102 ramub1.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑥𝑅 ↦ (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝐹𝑥) − 1), (𝐹𝑦)))))
103 ovex 6833 . . . . . . . . 9 (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))) ∈ V
104101, 102, 103fvmpt 6436 . . . . . . . 8 (𝑑𝑅 → (𝐺𝑑) = (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))))
10586, 104syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (𝐺𝑑) = (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))))
1066adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → 𝐺:𝑅⟶ℕ0)
107106, 86ffvelrnd 6515 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (𝐺𝑑) ∈ ℕ0)
108105, 107eqeltrrd 2832 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))) ∈ ℕ0)
109 simprlr 822 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋}))
110 simprrl 823 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤))
111105, 110eqbrtrrd 4820 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))) ≤ (♯‘𝑤))
11233adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → 𝐾:(𝑆𝐶𝑀)⟶𝑅)
1138adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → 𝑆 ∈ Fin)
114109elpwid 4306 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → 𝑤 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑋}))
115114difss2d 3875 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → 𝑤𝑆)
1161hashbcss 15902 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑆𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑤𝐶𝑀) ⊆ (𝑆𝐶𝑀))
117113, 115, 82, 116syl3anc 1473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (𝑤𝐶𝑀) ⊆ (𝑆𝐶𝑀))
118112, 117fssresd 6224 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)):(𝑤𝐶𝑀)⟶𝑅)
1191, 82, 83, 95, 108, 109, 111, 118rami 15913 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → ∃𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤(((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))‘𝑐) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))
120 equequ1 2099 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑐 → (𝑦 = 𝑑𝑐 = 𝑑))
121 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑐 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑐))
122120, 121ifbieq2d 4247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑐 → if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)) = if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)))
123 ovex 6833 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑑) − 1) ∈ V
124 fvex 6354 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹𝑐) ∈ V
125123, 124ifex 4292 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ∈ V
126122, 94, 125fvmpt 6436 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐𝑅 → ((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))‘𝑐) = if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)))
127126ad2antrl 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ (𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤)) → ((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))‘𝑐) = if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)))
128127breq1d 4806 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ (𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤)) → (((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))‘𝑐) ≤ (♯‘𝑣) ↔ if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣)))
129128anbi1d 743 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ (𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤)) → ((((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))‘𝑐) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})) ↔ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐}))))
1302ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝑀 ∈ ℕ)
1315ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝑅 ∈ Fin)
13284ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝐹:𝑅⟶ℕ)
1336ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝐺:𝑅⟶ℕ0)
1347ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0)
1358ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝑆 ∈ Fin)
13629ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → (♯‘𝑆) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))
13733ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝐾:(𝑆𝐶𝑀)⟶𝑅)
13819ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝑋𝑆)
13986adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝑑𝑅)
140114adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝑤 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑋}))
141110adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → (𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤))
142 simprrr 824 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑}))
143142adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑}))
144 simprll 821 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝑐𝑅)
145 simprlr 822 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝑣 ∈ 𝒫 𝑤)
146145elpwid 4306 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → 𝑣𝑤)
147 simprrl 823 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣))
148 simprrr 824 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐}))
149 cnvresima 5776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐}) = ((𝐾 “ {𝑐}) ∩ (𝑤𝐶𝑀))
150 inss1 3968 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 “ {𝑐}) ∩ (𝑤𝐶𝑀)) ⊆ (𝐾 “ {𝑐})
151149, 150eqsstri 3768 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐}) ⊆ (𝐾 “ {𝑐})
152148, 151syl6ss 3748 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → (𝑣𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐}))
153130, 131, 132, 102, 133, 134, 1, 135, 136, 137, 138, 79, 139, 140, 141, 143, 144, 146, 147, 152ramub1lem1 15924 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ ((𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) ∧ (if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})))) → ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐})))
154153expr 644 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ (𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤)) → ((if(𝑐 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑐)) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})) → ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐}))))
155129, 154sylbid 230 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ (𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤)) → ((((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))‘𝑐) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})) → ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐}))))
156155anassrs 683 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ 𝑐𝑅) ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑤) → ((((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))‘𝑐) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})) → ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐}))))
157156rexlimdva 3161 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) ∧ 𝑐𝑅) → (∃𝑣 ∈ 𝒫 𝑤(((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))‘𝑐) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})) → ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐}))))
158157reximdva 3147 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → (∃𝑐𝑅𝑣 ∈ 𝒫 𝑤(((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑑, ((𝐹𝑑) − 1), (𝐹𝑦)))‘𝑐) ≤ (♯‘𝑣) ∧ (𝑣𝐶𝑀) ⊆ ((𝐾 ↾ (𝑤𝐶𝑀)) “ {𝑐})) → ∃𝑐𝑅𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐}))))
159119, 158mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ ((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})))) → ∃𝑐𝑅𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐})))
160159expr 644 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})) → ∃𝑐𝑅𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐}))))
161160rexlimdvva 3168 . 2 (𝜑 → (∃𝑑𝑅𝑤 ∈ 𝒫 (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐺𝑑) ≤ (♯‘𝑤) ∧ (𝑤𝐶(𝑀 − 1)) ⊆ (𝐻 “ {𝑑})) → ∃𝑐𝑅𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐}))))
16281, 161mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑐𝑅𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧𝐶𝑀) ⊆ (𝐾 “ {𝑐})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wrex 3043  {crab 3046  Vcvv 3332  cdif 3704  cun 3705  cin 3706  wss 3707  ifcif 4222  𝒫 cpw 4294  {csn 4313   class class class wbr 4796  cmpt 4873  ccnv 5257  cres 5260  cima 5261  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  cmpt2 6807  Fincfn 8113  cc 10118  1c1 10121   + caddc 10123  cle 10259  cmin 10450  cn 11204  0cn0 11476  chash 13303   Ramsey cram 15897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-inf 8506  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-hash 13304  df-ram 15899
This theorem is referenced by:  ramub1  15926
  Copyright terms: Public domain W3C validator