Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramub1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramub1 15954
 Description: Inductive step for Ramsey's theorem, in the form of an explicit upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ramub1.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
ramub1.r (𝜑𝑅 ∈ Fin)
ramub1.f (𝜑𝐹:𝑅⟶ℕ)
ramub1.g 𝐺 = (𝑥𝑅 ↦ (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝐹𝑥) − 1), (𝐹𝑦)))))
ramub1.1 (𝜑𝐺:𝑅⟶ℕ0)
ramub1.2 (𝜑 → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
ramub1 (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ramub1
Dummy variables 𝑢 𝑐 𝑓 𝑠 𝑣 𝑤 𝑧 𝑎 𝑏 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . 2 (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖}) = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2 ramub1.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
32nnnn0d 11563 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4 ramub1.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ Fin)
5 ramub1.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑅⟶ℕ)
6 nnssnn0 11507 . . 3 ℕ ⊆ ℕ0
7 fss 6217 . . 3 ((𝐹:𝑅⟶ℕ ∧ ℕ ⊆ ℕ0) → 𝐹:𝑅⟶ℕ0)
85, 6, 7sylancl 697 . 2 (𝜑𝐹:𝑅⟶ℕ0)
9 ramub1.2 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0)
10 peano2nn0 11545 . . 3 (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0 → (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∈ ℕ0)
119, 10syl 17 . 2 (𝜑 → (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∈ ℕ0)
12 simprl 811 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))
139adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0)
14 nn0p1nn 11544 . . . . . . 7 (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0 → (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∈ ℕ)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∈ ℕ)
1612, 15eqeltrd 2839 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ)
1716nnnn0d 11563 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
18 vex 3343 . . . . . . . 8 𝑠 ∈ V
19 hashclb 13361 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑠) ∈ ℕ0))
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
2117, 20sylibr 224 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → 𝑠 ∈ Fin)
22 hashnncl 13369 . . . . . 6 (𝑠 ∈ Fin → ((♯‘𝑠) ∈ ℕ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
2321, 22syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → ((♯‘𝑠) ∈ ℕ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
2416, 23mpbid 222 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → 𝑠 ≠ ∅)
25 n0 4074 . . . 4 (𝑠 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝑠)
2624, 25sylib 208 . . 3 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑤 𝑤𝑠)
272adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤𝑠)) → 𝑀 ∈ ℕ)
284adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤𝑠)) → 𝑅 ∈ Fin)
295adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤𝑠)) → 𝐹:𝑅⟶ℕ)
30 ramub1.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥𝑅 ↦ (𝑀 Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝐹𝑥) − 1), (𝐹𝑦)))))
31 ramub1.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝑅⟶ℕ0)
3231adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤𝑠)) → 𝐺:𝑅⟶ℕ0)
339adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤𝑠)) → ((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) ∈ ℕ0)
3421adantrr 755 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤𝑠)) → 𝑠 ∈ Fin)
35 simprll 821 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤𝑠)) → (♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))
36 simprlr 822 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤𝑠)) → 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)
37 simprr 813 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤𝑠)) → 𝑤𝑠)
38 uneq1 3903 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑢 → (𝑣 ∪ {𝑤}) = (𝑢 ∪ {𝑤}))
3938fveq2d 6357 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑢 → (𝑓‘(𝑣 ∪ {𝑤})) = (𝑓‘(𝑢 ∪ {𝑤})))
4039cbvmptv 4902 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ((𝑠 ∖ {𝑤})(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})(𝑀 − 1)) ↦ (𝑓‘(𝑣 ∪ {𝑤}))) = (𝑢 ∈ ((𝑠 ∖ {𝑤})(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})(𝑀 − 1)) ↦ (𝑓‘(𝑢 ∪ {𝑤})))
4127, 28, 29, 30, 32, 33, 1, 34, 35, 36, 37, 40ramub1lem2 15953 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅) ∧ 𝑤𝑠)) → ∃𝑐𝑅𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})))
4241expr 644 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (𝑤𝑠 → ∃𝑐𝑅𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐}))))
4342exlimdv 2010 . . 3 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (∃𝑤 𝑤𝑠 → ∃𝑐𝑅𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐}))))
4426, 43mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐𝑅𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑧) ∧ (𝑧(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})))
451, 3, 4, 8, 11, 44ramub2 15940 1 (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ (((𝑀 − 1) Ramsey 𝐺) + 1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632  ∃wex 1853   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∃wrex 3051  {crab 3054  Vcvv 3340   ∖ cdif 3712   ∪ cun 3713   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  ifcif 4230  𝒫 cpw 4302  {csn 4321   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  ◡ccnv 5265   “ cima 5269  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   ↦ cmpt2 6816  Fincfn 8123  1c1 10149   + caddc 10151   ≤ cle 10287   − cmin 10478  ℕcn 11232  ℕ0cn0 11504  ♯chash 13331   Ramsey cram 15925 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-hash 13332  df-ram 15927 This theorem is referenced by:  ramcl  15955
 Copyright terms: Public domain W3C validator