MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramcl2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramcl2lem 15760
Description: Lemma for extended real closure of the Ramsey number function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ramval.c 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})
ramval.t 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (#‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅𝑚 (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (#‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})))}
Assertion
Ref Expression
ramcl2lem ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,𝑥,𝐶   𝑛,𝑐,𝑠,𝐹,𝑓,𝑥   𝑎,𝑏,𝑐,𝑓,𝑖,𝑛,𝑠,𝑥,𝑀   𝑅,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,𝑥   𝑉,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑖,𝑛,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑇(𝑥,𝑓,𝑖,𝑛,𝑠,𝑎,𝑏,𝑐)   𝐹(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem ramcl2lem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2662 . 2 (+∞ = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞ ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < ))))
2 eqeq2 2662 . 2 (inf(𝑇, ℝ, < ) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ, < ) ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < ))))
3 ramval.c . . . 4 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})
4 ramval.t . . . 4 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (#‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅𝑚 (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (#‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})))}
53, 4ramval 15759 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ*, < ))
6 infeq1 8423 . . . 4 (𝑇 = ∅ → inf(𝑇, ℝ*, < ) = inf(∅, ℝ*, < ))
7 xrinf0 12206 . . . 4 inf(∅, ℝ*, < ) = +∞
86, 7syl6eq 2701 . . 3 (𝑇 = ∅ → inf(𝑇, ℝ*, < ) = +∞)
95, 8sylan9eq 2705 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 = ∅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = +∞)
10 df-ne 2824 . . 3 (𝑇 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑇 = ∅)
115adantr 480 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ*, < ))
12 xrltso 12012 . . . . . 6 < Or ℝ*
1312a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → < Or ℝ*)
14 ssrab2 3720 . . . . . . . . 9 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (#‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅𝑚 (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (#‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})))} ⊆ ℕ0
154, 14eqsstri 3668 . . . . . . . 8 𝑇 ⊆ ℕ0
16 nn0ssre 11334 . . . . . . . 8 0 ⊆ ℝ
1715, 16sstri 3645 . . . . . . 7 𝑇 ⊆ ℝ
18 nn0uz 11760 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
1915, 18sseqtri 3670 . . . . . . . . 9 𝑇 ⊆ (ℤ‘0)
2019a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝑇 ⊆ (ℤ‘0))
21 infssuzcl 11810 . . . . . . . 8 ((𝑇 ⊆ (ℤ‘0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
2220, 21sylan 487 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
2317, 22sseldi 3634 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2423rexrd 10127 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
25 simpr 476 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑇) → 𝑧𝑇)
26 infssuzle 11809 . . . . . . 7 ((𝑇 ⊆ (ℤ‘0) ∧ 𝑧𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝑧)
2719, 25, 26sylancr 696 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝑧)
2823adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2917a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ⊆ ℝ)
3029sselda 3636 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑇) → 𝑧 ∈ ℝ)
3128, 30lenltd 10221 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑇) → (inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 < inf(𝑇, ℝ, < )))
3227, 31mpbid 222 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝑇) → ¬ 𝑧 < inf(𝑇, ℝ, < ))
3313, 24, 22, 32infmin 8441 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ*, < ) = inf(𝑇, ℝ, < ))
3411, 33eqtrd 2685 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ, < ))
3510, 34sylan2br 492 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ ¬ 𝑇 = ∅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ, < ))
361, 2, 9, 35ifbothda 4156 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054  wal 1521   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948  ifcif 4119  𝒫 cpw 4191  {csn 4210   class class class wbr 4685   Or wor 5063  ccnv 5142  cima 5146  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  𝑚 cmap 7899  infcinf 8388  cr 9973  0cc0 9974  +∞cpnf 10109  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  0cn0 11330  cuz 11725  #chash 13157   Ramsey cram 15750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-ram 15752
This theorem is referenced by:  ramtcl  15761  ramtcl2  15762  ramtub  15763  ramcl2  15767
  Copyright terms: Public domain W3C validator