MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ram0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ram0 15932
Description: The Ramsey number when 𝑅 = ∅. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ram0 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) = 𝑀)

Proof of Theorem ram0
Dummy variables 𝑏 𝑓 𝑐 𝑠 𝑥 𝑎 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2770 . . 3 (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖}) = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2 id 22 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0)
3 0ex 4921 . . . 4 ∅ ∈ V
43a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → ∅ ∈ V)
5 f0 6226 . . . 4 ∅:∅⟶ℕ0
65a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → ∅:∅⟶ℕ0)
7 f00 6227 . . . . 5 (𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅ ↔ (𝑓 = ∅ ∧ (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅))
8 vex 3352 . . . . . . . . . 10 𝑠 ∈ V
9 simpl 468 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
101hashbcval 15912 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀})
118, 9, 10sylancr 567 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀})
12 hashfz1 13337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
1312breq1d 4794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((♯‘(1...𝑀)) ≤ (♯‘𝑠) ↔ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
1413biimpar 463 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (♯‘(1...𝑀)) ≤ (♯‘𝑠))
15 fzfid 12979 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (1...𝑀) ∈ Fin)
16 hashdom 13369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 𝑠 ∈ V) → ((♯‘(1...𝑀)) ≤ (♯‘𝑠) ↔ (1...𝑀) ≼ 𝑠))
1715, 8, 16sylancl 566 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ((♯‘(1...𝑀)) ≤ (♯‘𝑠) ↔ (1...𝑀) ≼ 𝑠))
1814, 17mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (1...𝑀) ≼ 𝑠)
198domen 8121 . . . . . . . . . . . . 13 ((1...𝑀) ≼ 𝑠 ↔ ∃𝑥((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠))
2018, 19sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ∃𝑥((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠))
21 simprr 748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠)) → 𝑥𝑠)
22 selpw 4302 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠𝑥𝑠)
2321, 22sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑠)
24 hasheni 13339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1...𝑀) ≈ 𝑥 → (♯‘(1...𝑀)) = (♯‘𝑥))
2524ad2antrl 699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠)) → (♯‘(1...𝑀)) = (♯‘𝑥))
2612ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠)) → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
2725, 26eqtr3d 2806 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠)) → (♯‘𝑥) = 𝑀)
2823, 27jca 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠)) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀))
2928ex 397 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀)))
3029eximdv 1997 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (∃𝑥((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀)))
3120, 30mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀))
32 df-rex 3066 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(♯‘𝑥) = 𝑀 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀))
3331, 32sylibr 224 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(♯‘𝑥) = 𝑀)
34 rabn0 4102 . . . . . . . . . 10 ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(♯‘𝑥) = 𝑀)
3533, 34sylibr 224 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀} ≠ ∅)
3611, 35eqnetrd 3009 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ≠ ∅)
3736neneqd 2947 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ¬ (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅)
3837pm2.21d 119 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ((𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅ → ∃𝑐 ∈ ∅ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((∅‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐}))))
3938adantld 474 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ((𝑓 = ∅ ∧ (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅) → ∃𝑐 ∈ ∅ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((∅‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐}))))
407, 39syl5bi 232 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅ → ∃𝑐 ∈ ∅ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((∅‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐}))))
4140impr 442 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅)) → ∃𝑐 ∈ ∅ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((∅‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})))
421, 2, 4, 6, 2, 41ramub 15923 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) ≤ 𝑀)
43 nnnn0 11500 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
443a1i 11 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ∅ ∈ V)
455a1i 11 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ∅:∅⟶ℕ0)
46 nnm1nn0 11535 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
47 f0 6226 . . . . . . 7 ∅:∅⟶∅
48 fzfid 12979 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (1...(𝑀 − 1)) ∈ Fin)
491hashbc2 15916 . . . . . . . . . . 11 (((1...(𝑀 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = ((♯‘(1...(𝑀 − 1)))C𝑀))
5048, 43, 49syl2anc 565 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = ((♯‘(1...(𝑀 − 1)))C𝑀))
51 hashfz1 13337 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑀 − 1))) = (𝑀 − 1))
5246, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(1...(𝑀 − 1))) = (𝑀 − 1))
5352oveq1d 6807 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((♯‘(1...(𝑀 − 1)))C𝑀) = ((𝑀 − 1)C𝑀))
54 nnz 11600 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
55 nnre 11228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
5655ltm1d 11157 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) < 𝑀)
5756olcd 854 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 < 0 ∨ (𝑀 − 1) < 𝑀))
58 bcval4 13297 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 − 1) ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 < 0 ∨ (𝑀 − 1) < 𝑀)) → ((𝑀 − 1)C𝑀) = 0)
5946, 54, 57, 58syl3anc 1475 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1)C𝑀) = 0)
6050, 53, 593eqtrd 2808 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = 0)
61 ovex 6822 . . . . . . . . . 10 ((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ∈ V
62 hasheq0 13355 . . . . . . . . . 10 (((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ∈ V → ((♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = 0 ↔ ((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅))
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = 0 ↔ ((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅)
6460, 63sylib 208 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅)
6564feq2d 6171 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (∅:((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅ ↔ ∅:∅⟶∅))
6647, 65mpbiri 248 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ∅:((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅)
67 noel 4065 . . . . . . . 8 ¬ 𝑐 ∈ ∅
6867pm2.21i 117 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ ∅ → ((𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (∅ “ {𝑐}) → (♯‘𝑥) < (∅‘𝑐)))
6968ad2antrl 699 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑐 ∈ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ (1...(𝑀 − 1)))) → ((𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (∅ “ {𝑐}) → (♯‘𝑥) < (∅‘𝑐)))
701, 43, 44, 45, 46, 66, 69ramlb 15929 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) < (𝑀 Ramsey ∅))
71 ramubcl 15928 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ∅ ∈ V ∧ ∅:∅⟶ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey ∅) ≤ 𝑀)) → (𝑀 Ramsey ∅) ∈ ℕ0)
722, 4, 6, 2, 42, 71syl32anc 1483 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) ∈ ℕ0)
7343, 72syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 Ramsey ∅) ∈ ℕ0)
74 nn0lem1lt 11643 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey ∅) ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅) ↔ (𝑀 − 1) < (𝑀 Ramsey ∅)))
7543, 73, 74syl2anc 565 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅) ↔ (𝑀 − 1) < (𝑀 Ramsey ∅)))
7670, 75mpbird 247 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅))
7776a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅)))
7872nn0ge0d 11555 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑀 Ramsey ∅))
79 breq1 4787 . . . 4 (𝑀 = 0 → (𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅) ↔ 0 ≤ (𝑀 Ramsey ∅)))
8078, 79syl5ibrcom 237 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 = 0 → 𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅)))
81 elnn0 11495 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
8281biimpi 206 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
8377, 80, 82mpjaod 840 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅))
8472nn0red 11553 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) ∈ ℝ)
85 nn0re 11502 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
8684, 85letri3d 10380 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀 Ramsey ∅) = 𝑀 ↔ ((𝑀 Ramsey ∅) ≤ 𝑀𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅))))
8742, 83, 86mpbir2and 684 1 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) = 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wo 826   = wceq 1630  wex 1851  wcel 2144  wne 2942  wrex 3061  {crab 3064  Vcvv 3349  wss 3721  c0 4061  𝒫 cpw 4295  {csn 4314   class class class wbr 4784  ccnv 5248  cima 5252  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  cmpt2 6794  cen 8105  cdom 8106  Fincfn 8108  0cc0 10137  1c1 10138   < clt 10275  cle 10276  cmin 10467  cn 11221  0cn0 11493  cz 11578  ...cfz 12532  Ccbc 13292  chash 13320   Ramsey cram 15909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-seq 13008  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-ram 15911
This theorem is referenced by:  0ramcl  15933  ramcl  15939
  Copyright terms: Public domain W3C validator