MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvlt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem radcnvlt2 24393
Description: If 𝑋 is within the open disk of radius 𝑅 centered at zero, then the infinite series converges at 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
radcnv.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
radcnv.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
radcnvlt.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
radcnvlt.a (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
radcnvlt2 (𝜑 → seq0( + , (𝐺𝑋)) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝐺,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem radcnvlt2
Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11924 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 11591 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 pser.g . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
4 radcnv.a . . . 4 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
5 radcnvlt.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
63, 4, 5psergf 24386 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑋):ℕ0⟶ℂ)
7 fvco3 6417 . . 3 (((𝐺𝑋):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺𝑋))‘𝑘) = (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)))
86, 7sylan 569 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺𝑋))‘𝑘) = (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)))
96ffvelrnda 6502 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑋)‘𝑘) ∈ ℂ)
10 radcnv.r . . . 4 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
11 radcnvlt.a . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
12 id 22 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘𝑚 = 𝑘)
13 fveq2 6332 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐺𝑋)‘𝑚) = ((𝐺𝑋)‘𝑘))
1413fveq2d 6336 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚)) = (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)))
1512, 14oveq12d 6811 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚))) = (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
1615cbvmptv 4884 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
173, 4, 10, 5, 11, 16radcnvlt1 24392 . . 3 (𝜑 → (seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚))))) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ ))
1817simprd 483 . 2 (𝜑 → seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ )
191, 2, 8, 9, 18abscvgcvg 14758 1 (𝜑 → seq0( + , (𝐺𝑋)) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  {crab 3065   class class class wbr 4786  cmpt 4863  dom cdm 5249  ccom 5253  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  supcsup 8502  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138   + caddc 10141   · cmul 10143  *cxr 10275   < clt 10276  0cn0 11494  seqcseq 13008  cexp 13067  abscabs 14182  cli 14423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625
This theorem is referenced by:  pserulm  24396  pserdvlem2  24402  abelthlem3  24407  binomcxplemcvg  39079
  Copyright terms: Public domain W3C validator