MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvlt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem radcnvlt1 24392
Description: If 𝑋 is within the open disk of radius 𝑅 centered at zero, then the infinite series converges absolutely at 𝑋, and also converges when the series is multiplied by 𝑛. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
radcnv.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
radcnv.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
radcnvlt.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
radcnvlt.a (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
radcnvlt1.h 𝐻 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚))))
Assertion
Ref Expression
radcnvlt1 (𝜑 → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝐴   𝑚,𝐻   𝜑,𝑚   𝑚,𝑋   𝑚,𝑟,𝐺
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑚,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑋(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem radcnvlt1
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 radcnvlt.a . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
2 ressxr 10285 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ*
3 radcnvlt.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
43abscld 14383 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
52, 4sseldi 3750 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ*)
6 iccssxr 12461 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
7 pser.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
8 radcnv.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
9 radcnv.r . . . . . . . 8 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
107, 8, 9radcnvcl 24391 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ (0[,]+∞))
116, 10sseldi 3750 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
12 xrltnle 10307 . . . . . 6 (((abs‘𝑋) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑋) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (abs‘𝑋)))
135, 11, 12syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘𝑋) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (abs‘𝑋)))
141, 13mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑅 ≤ (abs‘𝑋))
159breq1i 4793 . . . . . 6 (𝑅 ≤ (abs‘𝑋) ↔ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ≤ (abs‘𝑋))
16 ssrab2 3836 . . . . . . . 8 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
1716, 2sstri 3761 . . . . . . 7 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
18 supxrleub 12361 . . . . . . 7 (({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ*) → (sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ≤ (abs‘𝑋) ↔ ∀𝑠 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
1917, 5, 18sylancr 575 . . . . . 6 (𝜑 → (sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ≤ (abs‘𝑋) ↔ ∀𝑠 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
2015, 19syl5bb 272 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 ≤ (abs‘𝑋) ↔ ∀𝑠 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
21 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑠 → (𝐺𝑟) = (𝐺𝑠))
2221seqeq3d 13016 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑠 → seq0( + , (𝐺𝑟)) = seq0( + , (𝐺𝑠)))
2322eleq1d 2835 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑠 → (seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ))
2423ralrab 3520 . . . . 5 (∀𝑠 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≤ (abs‘𝑋) ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ → 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
2520, 24syl6bb 276 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 ≤ (abs‘𝑋) ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ → 𝑠 ≤ (abs‘𝑋))))
2614, 25mtbid 313 . . 3 (𝜑 → ¬ ∀𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ → 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
27 rexanali 3146 . . 3 (∃𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)) ↔ ¬ ∀𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ → 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
2826, 27sylibr 224 . 2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
29 ltnle 10319 . . . . . . 7 (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑋) < 𝑠 ↔ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
304, 29sylan 569 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑋) < 𝑠 ↔ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
3130adantr 466 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ) → ((abs‘𝑋) < 𝑠 ↔ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
328ad2antrr 705 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
333ad2antrr 705 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 𝑋 ∈ ℂ)
34 simplr 752 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 𝑠 ∈ ℝ)
3534recnd 10270 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 𝑠 ∈ ℂ)
36 simprr 756 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → (abs‘𝑋) < 𝑠)
37 0red 10243 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 0 ∈ ℝ)
3833abscld 14383 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
3933absge0d 14391 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 0 ≤ (abs‘𝑋))
4037, 38, 34, 39, 36lelttrd 10397 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 0 < 𝑠)
4137, 34, 40ltled 10387 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 0 ≤ 𝑠)
4234, 41absidd 14369 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → (abs‘𝑠) = 𝑠)
4336, 42breqtrrd 4814 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → (abs‘𝑋) < (abs‘𝑠))
44 simprl 754 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ )
45 radcnvlt1.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚))))
467, 32, 33, 35, 43, 44, 45radcnvlem1 24387 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
477, 32, 33, 35, 43, 44radcnvlem2 24388 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ )
4846, 47jca 501 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ ))
4948expr 444 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ) → ((abs‘𝑋) < 𝑠 → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ )))
5031, 49sylbird 250 . . . 4 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ) → (¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋) → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ )))
5150expimpd 441 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → ((seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)) → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ )))
5251rexlimdva 3179 . 2 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)) → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ )))
5328, 52mpd 15 1 (𝜑 → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  {crab 3065  wss 3723   class class class wbr 4786  cmpt 4863  dom cdm 5249  ccom 5253  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  supcsup 8502  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138   + caddc 10141   · cmul 10143  +∞cpnf 10273  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277  0cn0 11494  [,]cicc 12383  seqcseq 13008  cexp 13067  abscabs 14182  cli 14423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625
This theorem is referenced by:  radcnvlt2  24393  dvradcnv  24395  pserulm  24396
  Copyright terms: Public domain W3C validator