Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvlt1 Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: If 𝑋 is within the open disk of radius 𝑅 centered at zero, then the infinite series converges absolutely at 𝑋, and also converges when the series is multiplied by 𝑛. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
radcnv.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
radcnvlt.a (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
radcnvlt1.h 𝐻 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚))))
Assertion
Ref Expression
radcnvlt1 (𝜑 → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝐴   𝑚,𝐻   𝜑,𝑚   𝑚,𝑋   𝑚,𝑟,𝐺
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑚,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑋(𝑥,𝑛,𝑟)

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 radcnvlt.a . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
2 ressxr 10285 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ*
3 radcnvlt.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
43abscld 14383 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
52, 4sseldi 3750 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ*)
6 iccssxr 12461 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
7 pser.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
8 radcnv.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
9 radcnv.r . . . . . . . 8 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
107, 8, 9radcnvcl 24391 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ (0[,]+∞))
116, 10sseldi 3750 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
12 xrltnle 10307 . . . . . 6 (((abs‘𝑋) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑋) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (abs‘𝑋)))
135, 11, 12syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘𝑋) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (abs‘𝑋)))
141, 13mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑅 ≤ (abs‘𝑋))
159breq1i 4793 . . . . . 6 (𝑅 ≤ (abs‘𝑋) ↔ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ≤ (abs‘𝑋))
16 ssrab2 3836 . . . . . . . 8 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
1716, 2sstri 3761 . . . . . . 7 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
18 supxrleub 12361 . . . . . . 7 (({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ*) → (sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ≤ (abs‘𝑋) ↔ ∀𝑠 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
1917, 5, 18sylancr 575 . . . . . 6 (𝜑 → (sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ≤ (abs‘𝑋) ↔ ∀𝑠 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
2015, 19syl5bb 272 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 ≤ (abs‘𝑋) ↔ ∀𝑠 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
21 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑠 → (𝐺𝑟) = (𝐺𝑠))
2221seqeq3d 13016 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑠 → seq0( + , (𝐺𝑟)) = seq0( + , (𝐺𝑠)))
2322eleq1d 2835 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑠 → (seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ))
2423ralrab 3520 . . . . 5 (∀𝑠 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≤ (abs‘𝑋) ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ → 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
2520, 24syl6bb 276 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 ≤ (abs‘𝑋) ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ → 𝑠 ≤ (abs‘𝑋))))
2614, 25mtbid 313 . . 3 (𝜑 → ¬ ∀𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ → 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
27 rexanali 3146 . . 3 (∃𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)) ↔ ¬ ∀𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ → 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
2826, 27sylibr 224 . 2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
29 ltnle 10319 . . . . . . 7 (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑋) < 𝑠 ↔ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
304, 29sylan 569 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑋) < 𝑠 ↔ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
3130adantr 466 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ) → ((abs‘𝑋) < 𝑠 ↔ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
328ad2antrr 705 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
333ad2antrr 705 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 𝑋 ∈ ℂ)
34 simplr 752 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 𝑠 ∈ ℝ)
3534recnd 10270 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 𝑠 ∈ ℂ)
36 simprr 756 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → (abs‘𝑋) < 𝑠)
37 0red 10243 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 0 ∈ ℝ)
3833abscld 14383 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
3933absge0d 14391 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 0 ≤ (abs‘𝑋))
4037, 38, 34, 39, 36lelttrd 10397 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 0 < 𝑠)
4137, 34, 40ltled 10387 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 0 ≤ 𝑠)
4234, 41absidd 14369 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → (abs‘𝑠) = 𝑠)
4336, 42breqtrrd 4814 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → (abs‘𝑋) < (abs‘𝑠))
44 simprl 754 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ )
45 radcnvlt1.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚))))
467, 32, 33, 35, 43, 44, 45radcnvlem1 24387 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
477, 32, 33, 35, 43, 44radcnvlem2 24388 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ )
4846, 47jca 501 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ ))
4948expr 444 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ) → ((abs‘𝑋) < 𝑠 → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ )))
5031, 49sylbird 250 . . . 4 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ) → (¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋) → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ )))
5150expimpd 441 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → ((seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)) → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ )))
5251rexlimdva 3179 . 2 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)) → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ )))
5328, 52mpd 15 1 (𝜑 → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  {crab 3065   ⊆ wss 3723   class class class wbr 4786   ↦ cmpt 4863  dom cdm 5249   ∘ ccom 5253  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  supcsup 8502  ℂcc 10136  ℝcr 10137  0cc0 10138   + caddc 10141   · cmul 10143  +∞cpnf 10273  ℝ*cxr 10275   < clt 10276   ≤ cle 10277  ℕ0cn0 11494  [,]cicc 12383  seqcseq 13008  ↑cexp 13067  abscabs 14182   ⇝ cli 14423 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625 This theorem is referenced by:  radcnvlt2  24393  dvradcnv  24395  pserulm  24396
 Copyright terms: Public domain W3C validator