Theorem radcnvlem2 24367

Description: Lemma for radcnvlt1 24371, radcnvle 24373. If 𝑋 is a point closer to zero than 𝑌 and the power series converges at 𝑌, then it converges absolutely at 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pser.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
radcnv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
psergf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
radcnvlem2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
radcnvlem2.a	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < (abs‘𝑌))
radcnvlem2.c	⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑌)) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
radcnvlem2	⊢ (𝜑 → seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛)   𝑌(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem radcnvlem2

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 11915	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		1nn0 11500	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
4		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → 𝑚 = 𝑘)
5		fveq2 6352	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐺‘𝑋)‘𝑚) = ((𝐺‘𝑋)‘𝑘))
6	5	fveq2d 6356	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
7	4, 6	oveq12d 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
8		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))
9		ovex 6841	. . . . 5 ⊢ (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) ∈ V
10	7, 8, 9	fvmpt 6444	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
11	10	adantl 473	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
12		nn0re 11493	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
13	12	adantl 473	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
14		pser.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
15		radcnv.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
16		psergf.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	psergf 24365	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋):ℕ0⟶ℂ)
18	17	ffvelrnda 6522	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑋)‘𝑘) ∈ ℂ)
19	18	abscld 14374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)) ∈ ℝ)
20	13, 19	remulcld 10262	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) ∈ ℝ)
21	11, 20	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘) ∈ ℝ)
22		fvco3 6437	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝑋):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
23	17, 22	sylan 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
24	19	recnd 10260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)) ∈ ℂ)
25	23, 24	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘) ∈ ℂ)
26		radcnvlem2.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
27		radcnvlem2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < (abs‘𝑌))
28		radcnvlem2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺‘𝑌)) ∈ dom ⇝ )
29	7	cbvmptv 4902	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
30	14, 15, 16, 26, 27, 28, 29	radcnvlem1 24366	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))) ∈ dom ⇝ )
31		1red 10247	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
32		1red 10247	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 1 ∈ ℝ)
33		elnnuz 11917	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
34		nnnn0 11491	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
35	33, 34	sylbir 225	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑘 ∈ ℕ0)
36	35, 13	sylan2 492	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
37	35, 19	sylan2 492	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)) ∈ ℝ)
38	18	absge0d 14382	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
39	35, 38	sylan2 492	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 0 ≤ (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
40		eluzle 11892	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ≤ 𝑘)
41	40	adantl 473	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 1 ≤ 𝑘)
42	32, 36, 37, 39, 41	lemul1ad 11155	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (1 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) ≤ (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
43		absidm 14262	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺‘𝑋)‘𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
44	18, 43	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
45	23	fveq2d 6356	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘)) = (abs‘(abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
46	24	mulid2d 10250	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
47	44, 45, 46	3eqtr4d 2804	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘)) = (1 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
48	35, 47	sylan2 492	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (abs‘((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘)) = (1 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
49	11	oveq2d 6829	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘)) = (1 · (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))))
50	20	recnd 10260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))) ∈ ℂ)
51	50	mulid2d 10250	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
52	49, 51	eqtrd 2794	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘)) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
53	35, 52	sylan2 492	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (1 · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘)) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
54	42, 48, 53	3brtr4d 4836	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (abs‘((abs ∘ (𝐺‘𝑋))‘𝑘)) ≤ (1 · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))‘𝑘)))
55	1, 3, 21, 25, 30, 31, 54	cvgcmpce 14749	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  dom cdm 5266   ∘ ccom 5270  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  ℝcr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266   ≤ cle 10267  ℕcn 11212  ℕ₀cn0 11484  ℤ_≥cuz 11879  seqcseq 12995  ↑cexp 13054  abscabs 14173   ⇝ cli 14414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-ico 12374  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616

This theorem is referenced by:  radcnvlem3  24368  radcnvlt1  24371