Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvle Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: If 𝑋 is a convergent point of the infinite series, then 𝑋 is within the closed disk of radius 𝑅 centered at zero. Or, by contraposition, the series diverges at any point strictly more than 𝑅 from the origin. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
radcnv.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
radcnvle.a (𝜑 → seq0( + , (𝐺𝑋)) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
radcnvle (𝜑 → (abs‘𝑋) ≤ 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝐺,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛,𝑟)

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 < (abs‘𝑋))
2 iccssxr 12420 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3 pser.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
4 radcnv.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
5 radcnv.r . . . . . . . . 9 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
63, 4, 5radcnvcl 24341 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ (0[,]+∞))
72, 6sseldi 3730 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
87adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
9 radcnvle.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
109abscld 14345 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
1110adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
12 0xr 10249 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
13 pnfxr 10255 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
14 elicc1 12383 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≤ +∞)))
1512, 13, 14mp2an 710 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≤ +∞))
166, 15sylib 208 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≤ +∞))
1716simp2d 1135 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
18 ge0gtmnf 12167 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅) → -∞ < 𝑅)
197, 17, 18syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → -∞ < 𝑅)
2019adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → -∞ < 𝑅)
21 ressxr 10246 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
2221, 10sseldi 3730 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ*)
2322adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ*)
24 xrltle 12146 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ*) → (𝑅 < (abs‘𝑋) → 𝑅 ≤ (abs‘𝑋)))
258, 23, 24syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → (𝑅 < (abs‘𝑋) → 𝑅 ≤ (abs‘𝑋)))
261, 25mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 ≤ (abs‘𝑋))
27 xrre 12164 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ* ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑅𝑅 ≤ (abs‘𝑋))) → 𝑅 ∈ ℝ)
288, 11, 20, 26, 27syl22anc 1464 . . . . 5 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ)
29 avglt1 11433 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)))
3028, 11, 29syl2anc 696 . . . 4 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)))
311, 30mpbid 222 . . 3 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
32 ssrab2 3816 . . . . . . 7 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
3332, 21sstri 3741 . . . . . 6 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
3428, 11readdcld 10232 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → (𝑅 + (abs‘𝑋)) ∈ ℝ)
3534rehalfcld 11442 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ ℝ)
364adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
3735recnd 10231 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ ℂ)
389adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 𝑋 ∈ ℂ)
39 0red 10204 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 ∈ ℝ)
4017adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 ≤ 𝑅)
4139, 28, 35, 40, 31lelttrd 10358 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
4239, 35, 41ltled 10348 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → 0 ≤ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
4335, 42absidd 14331 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)) = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
44 avglt2 11434 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) < (abs‘𝑋)))
4528, 11, 44syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → (𝑅 < (abs‘𝑋) ↔ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) < (abs‘𝑋)))
461, 45mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) < (abs‘𝑋))
4743, 46eqbrtrd 4814 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → (abs‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)) < (abs‘𝑋))
48 radcnvle.a . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq0( + , (𝐺𝑋)) ∈ dom ⇝ )
4948adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → seq0( + , (𝐺𝑋)) ∈ dom ⇝ )
503, 36, 37, 38, 47, 49radcnvlem3 24339 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))) ∈ dom ⇝ )
51 fveq2 6340 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) → (𝐺𝑦) = (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)))
5251seqeq3d 12974 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) → seq0( + , (𝐺𝑦)) = seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))))
5352eleq1d 2812 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) → (seq0( + , (𝐺𝑦)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))) ∈ dom ⇝ ))
54 fveq2 6340 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑦 → (𝐺𝑟) = (𝐺𝑦))
5554seqeq3d 12974 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑦 → seq0( + , (𝐺𝑟)) = seq0( + , (𝐺𝑦)))
5655eleq1d 2812 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑦 → (seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺𝑦)) ∈ dom ⇝ ))
5756cbvrabv 3327 . . . . . . . 8 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑦)) ∈ dom ⇝ }
5853, 57elrab2 3495 . . . . . . 7 (((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ↔ (((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ ℝ ∧ seq0( + , (𝐺‘((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))) ∈ dom ⇝ ))
5935, 50, 58sylanbrc 701 . . . . . 6 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
60 supxrub 12318 . . . . . 6 (({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* ∧ ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
6133, 59, 60sylancr 698 . . . . 5 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
6261, 5syl6breqr 4834 . . . 4 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ≤ 𝑅)
6335, 28lenltd 10346 . . . 4 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → (((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2) ≤ 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2)))
6462, 63mpbid 222 . . 3 ((𝜑𝑅 < (abs‘𝑋)) → ¬ 𝑅 < ((𝑅 + (abs‘𝑋)) / 2))
6531, 64pm2.65da 601 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑅 < (abs‘𝑋))
66 xrlenlt 10266 . . 3 (((abs‘𝑋) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑋) ≤ 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 < (abs‘𝑋)))
6722, 7, 66syl2anc 696 . 2 (𝜑 → ((abs‘𝑋) ≤ 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 < (abs‘𝑋)))
6865, 67mpbird 247 1 (𝜑 → (abs‘𝑋) ≤ 𝑅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1620   ∈ wcel 2127  {crab 3042   ⊆ wss 3703   class class class wbr 4792   ↦ cmpt 4869  dom cdm 5254  ⟶wf 6033  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801  supcsup 8499  ℂcc 10097  ℝcr 10098  0cc0 10099   + caddc 10102   · cmul 10104  +∞cpnf 10234  -∞cmnf 10235  ℝ*cxr 10236   < clt 10237   ≤ cle 10238   / cdiv 10847  2c2 11233  ℕ0cn0 11455  [,]cicc 12342  seqcseq 12966  ↑cexp 13025  abscabs 14144   ⇝ cli 14385 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177  ax-addf 10178  ax-mulf 10179 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-pm 8014  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-ico 12345  df-icc 12346  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-fl 12758  df-seq 12967  df-exp 13026  df-hash 13283  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-limsup 14372  df-clim 14389  df-rlim 14390  df-sum 14587 This theorem is referenced by:  pserdvlem2  24352  abelthlem1  24355  logtayl  24576
 Copyright terms: Public domain W3C validator