MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem radcnvcl 24368
Description: The radius of convergence 𝑅 of an infinite series is a nonnegative extended real number. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
radcnv.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
radcnv.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
Assertion
Ref Expression
radcnvcl (𝜑𝑅 ∈ (0[,]+∞))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝐺,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem radcnvcl
StepHypRef Expression
1 radcnv.r . . 3 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
2 ssrab2 3826 . . . . 5 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
3 ressxr 10273 . . . . 5 ℝ ⊆ ℝ*
42, 3sstri 3751 . . . 4 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
5 supxrcl 12336 . . . 4 ({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
64, 5mp1i 13 . . 3 (𝜑 → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
71, 6syl5eqel 2841 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
8 pser.g . . . . 5 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
9 radcnv.a . . . . 5 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
108, 9radcnv0 24367 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ })
11 supxrub 12345 . . . 4 (({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* ∧ 0 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }) → 0 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
124, 10, 11sylancr 698 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
1312, 1syl6breqr 4844 . 2 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
14 pnfge 12155 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ*𝑅 ≤ +∞)
157, 14syl 17 . 2 (𝜑𝑅 ≤ +∞)
16 0xr 10276 . . 3 0 ∈ ℝ*
17 pnfxr 10282 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
18 elicc1 12410 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≤ +∞)))
1916, 17, 18mp2an 710 . 2 (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≤ +∞))
207, 13, 15, 19syl3anbrc 1429 1 (𝜑𝑅 ∈ (0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1072   = wceq 1630  wcel 2137  {crab 3052  wss 3713   class class class wbr 4802  cmpt 4879  dom cdm 5264  wf 6043  cfv 6047  (class class class)co 6811  supcsup 8509  cc 10124  cr 10125  0cc0 10126   + caddc 10129   · cmul 10131  +∞cpnf 10261  *cxr 10263   < clt 10264  cle 10265  0cn0 11482  [,]cicc 12369  seqcseq 12993  cexp 13052  cli 14412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-sup 8511  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-rp 12024  df-icc 12373  df-fz 12518  df-seq 12994  df-exp 13053  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-clim 14416
This theorem is referenced by:  radcnvlt1  24369  radcnvle  24371  pserulm  24373  psercnlem2  24375  psercnlem1  24376  psercn  24377  pserdvlem1  24378  pserdvlem2  24379  abelthlem3  24384  abelth  24392  logtayl  24603
  Copyright terms: Public domain W3C validator