Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rabren3dioph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rabren3dioph 37881
Description: Change variable numbers in a 3-variable Diophantine class abstraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rabren3dioph.a (((𝑎‘1) = (𝑏𝑋) ∧ (𝑎‘2) = (𝑏𝑌) ∧ (𝑎‘3) = (𝑏𝑍)) → (𝜑𝜓))
rabren3dioph.b 𝑋 ∈ (1...𝑁)
rabren3dioph.c 𝑌 ∈ (1...𝑁)
rabren3dioph.d 𝑍 ∈ (1...𝑁)
Assertion
Ref Expression
rabren3dioph ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ 𝜓} ∈ (Dioph‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝜓,𝑎   𝜑,𝑏   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑎,𝑏   𝑍,𝑎,𝑏   𝑁,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝜓(𝑏)

Proof of Theorem rabren3dioph
StepHypRef Expression
1 vex 3343 . . . . 5 𝑏 ∈ V
2 tpex 7122 . . . . 5 {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} ∈ V
31, 2coex 7283 . . . 4 (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) ∈ V
4 1ne2 11432 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 2
5 1re 10231 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
6 1lt3 11388 . . . . . . . . . . 11 1 < 3
75, 6ltneii 10342 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 3
8 2re 11282 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
9 2lt3 11387 . . . . . . . . . . 11 2 < 3
108, 9ltneii 10342 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 3
11 1ex 10227 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ V
12 2ex 11284 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ V
13 3ex 11288 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ V
14 rabren3dioph.b . . . . . . . . . . . 12 𝑋 ∈ (1...𝑁)
1514elexi 3353 . . . . . . . . . . 11 𝑋 ∈ V
16 rabren3dioph.c . . . . . . . . . . . 12 𝑌 ∈ (1...𝑁)
1716elexi 3353 . . . . . . . . . . 11 𝑌 ∈ V
18 rabren3dioph.d . . . . . . . . . . . 12 𝑍 ∈ (1...𝑁)
1918elexi 3353 . . . . . . . . . . 11 𝑍 ∈ V
2011, 12, 13, 15, 17, 19fntp 6110 . . . . . . . . . 10 ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 3) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} Fn {1, 2, 3})
214, 7, 10, 20mp3an 1573 . . . . . . . . 9 {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} Fn {1, 2, 3}
2211tpid1 4447 . . . . . . . . 9 1 ∈ {1, 2, 3}
23 fvco2 6435 . . . . . . . . 9 (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} Fn {1, 2, 3} ∧ 1 ∈ {1, 2, 3}) → ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘1)))
2421, 22, 23mp2an 710 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘1))
2511, 15fvtp1 6624 . . . . . . . . . 10 ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘1) = 𝑋)
264, 7, 25mp2an 710 . . . . . . . . 9 ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘1) = 𝑋
2726fveq2i 6355 . . . . . . . 8 (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘1)) = (𝑏𝑋)
2824, 27eqtri 2782 . . . . . . 7 ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏𝑋)
2912tpid2 4448 . . . . . . . . 9 2 ∈ {1, 2, 3}
30 fvco2 6435 . . . . . . . . 9 (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} Fn {1, 2, 3} ∧ 2 ∈ {1, 2, 3}) → ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘2)))
3121, 29, 30mp2an 710 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘2))
3212, 17fvtp2 6625 . . . . . . . . . 10 ((1 ≠ 2 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘2) = 𝑌)
334, 10, 32mp2an 710 . . . . . . . . 9 ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘2) = 𝑌
3433fveq2i 6355 . . . . . . . 8 (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘2)) = (𝑏𝑌)
3531, 34eqtri 2782 . . . . . . 7 ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏𝑌)
3613tpid3 4450 . . . . . . . . 9 3 ∈ {1, 2, 3}
37 fvco2 6435 . . . . . . . . 9 (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} Fn {1, 2, 3} ∧ 3 ∈ {1, 2, 3}) → ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘3)))
3821, 36, 37mp2an 710 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘3))
3913, 19fvtp3 6626 . . . . . . . . . 10 ((1 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘3) = 𝑍)
407, 10, 39mp2an 710 . . . . . . . . 9 ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘3) = 𝑍
4140fveq2i 6355 . . . . . . . 8 (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘3)) = (𝑏𝑍)
4238, 41eqtri 2782 . . . . . . 7 ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏𝑍)
4328, 35, 423pm3.2i 1424 . . . . . 6 (((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏𝑋) ∧ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏𝑌) ∧ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏𝑍))
44 fveq1 6351 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → (𝑎‘1) = ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1))
4544eqeq1d 2762 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → ((𝑎‘1) = (𝑏𝑋) ↔ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏𝑋)))
46 fveq1 6351 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → (𝑎‘2) = ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2))
4746eqeq1d 2762 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → ((𝑎‘2) = (𝑏𝑌) ↔ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏𝑌)))
48 fveq1 6351 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → (𝑎‘3) = ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3))
4948eqeq1d 2762 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → ((𝑎‘3) = (𝑏𝑍) ↔ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏𝑍)))
5045, 47, 493anbi123d 1548 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → (((𝑎‘1) = (𝑏𝑋) ∧ (𝑎‘2) = (𝑏𝑌) ∧ (𝑎‘3) = (𝑏𝑍)) ↔ (((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏𝑋) ∧ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏𝑌) ∧ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏𝑍))))
5143, 50mpbiri 248 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → ((𝑎‘1) = (𝑏𝑋) ∧ (𝑎‘2) = (𝑏𝑌) ∧ (𝑎‘3) = (𝑏𝑍)))
52 rabren3dioph.a . . . . 5 (((𝑎‘1) = (𝑏𝑋) ∧ (𝑎‘2) = (𝑏𝑌) ∧ (𝑎‘3) = (𝑏𝑍)) → (𝜑𝜓))
5351, 52syl 17 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → (𝜑𝜓))
543, 53sbcie 3611 . . 3 ([(𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) / 𝑎]𝜑𝜓)
5554rabbii 3325 . 2 {𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ [(𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) / 𝑎]𝜑} = {𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ 𝜓}
5611, 12, 13, 15, 17, 19, 4, 7, 10ftp 6587 . . . . 5 {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍}
57 1z 11599 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
58 fztp 12590 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . 7 (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
60 1p2e3 11344 . . . . . . . 8 (1 + 2) = 3
6160oveq2i 6824 . . . . . . 7 (1...(1 + 2)) = (1...3)
62 eqidd 2761 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → 1 = 1)
63 1p1e2 11326 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) = 2
6463a1i 11 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → (1 + 1) = 2)
6560a1i 11 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → (1 + 2) = 3)
6662, 64, 65tpeq123d 4427 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3})
6757, 66ax-mp 5 . . . . . . 7 {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3}
6859, 61, 673eqtr3i 2790 . . . . . 6 (1...3) = {1, 2, 3}
6968feq2i 6198 . . . . 5 ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍} ↔ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍})
7056, 69mpbir 221 . . . 4 {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍}
7114, 16, 183pm3.2i 1424 . . . . 5 (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑍 ∈ (1...𝑁))
7215, 17, 19tpss 4513 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑍 ∈ (1...𝑁)) ↔ {𝑋, 𝑌, 𝑍} ⊆ (1...𝑁))
7371, 72mpbi 220 . . . 4 {𝑋, 𝑌, 𝑍} ⊆ (1...𝑁)
74 fss 6217 . . . 4 (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍} ∧ {𝑋, 𝑌, 𝑍} ⊆ (1...𝑁)) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶(1...𝑁))
7570, 73, 74mp2an 710 . . 3 {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶(1...𝑁)
76 rabrenfdioph 37880 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶(1...𝑁) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ [(𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) / 𝑎]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
7775, 76mp3an2 1561 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ [(𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) / 𝑎]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
7855, 77syl5eqelr 2844 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ 𝜓} ∈ (Dioph‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  {crab 3054  [wsbc 3576  wss 3715  {ctp 4325  cop 4327  ccom 5270   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  𝑚 cmap 8023  1c1 10129   + caddc 10131  2c2 11262  3c3 11263  0cn0 11484  cz 11569  ...cfz 12519  Diophcdioph 37820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-hash 13312  df-mzpcl 37788  df-mzp 37789  df-dioph 37821
This theorem is referenced by:  rmxdioph  38085  expdiophlem2  38091
  Copyright terms: Public domain W3C validator