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Theorem r1tskina 9642
Description: There is a direct relationship between transitive Tarski classes and inaccessible cardinals: the Tarski classes that occur in the cumulative hierarchy are exactly at the strongly inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
r1tskina (𝐴 ∈ On → ((𝑅1𝐴) ∈ Tarski ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc)))

Proof of Theorem r1tskina
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2824 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
2 simplr 807 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1𝐴) ∈ Tarski)
3 simpll 805 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
4 onwf 8731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 On ⊆ (𝑅1 “ On)
54sseli 3632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ On → 𝐴 (𝑅1 “ On))
6 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (rank‘𝐴) = (rank‘𝐴)
7 rankr1c 8722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 (𝑅1 “ On) → ((rank‘𝐴) = (rank‘𝐴) ↔ (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))))
86, 7mpbii 223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 (𝑅1 “ On) → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴))))
95, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ On → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴))))
109simpld 474 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ On → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))
11 r1fnon 8668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑅1 Fn On
12 fndm 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅1 Fn On → dom 𝑅1 = On)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 dom 𝑅1 = On
1413eleq2i 2722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 ∈ On)
15 rankonid 8730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘𝐴) = 𝐴)
1614, 15bitr3i 266 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ On ↔ (rank‘𝐴) = 𝐴)
17 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((rank‘𝐴) = 𝐴 → (𝑅1‘(rank‘𝐴)) = (𝑅1𝐴))
1816, 17sylbi 207 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ On → (𝑅1‘(rank‘𝐴)) = (𝑅1𝐴))
1910, 18neleqtrd 2751 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ On → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐴))
2019adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅1𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐴))
21 onssr1 8732 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴))
2214, 21sylbir 225 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴))
23 tsken 9614 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅1𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴)) → (𝐴 ≈ (𝑅1𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐴)))
2422, 23sylan2 490 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅1𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴 ≈ (𝑅1𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐴)))
2524ord 391 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅1𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → (¬ 𝐴 ≈ (𝑅1𝐴) → 𝐴 ∈ (𝑅1𝐴)))
2620, 25mt3d 140 . . . . . . . . . 10 (((𝑅1𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ≈ (𝑅1𝐴))
272, 3, 26syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≈ (𝑅1𝐴))
28 carden2b 8831 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≈ (𝑅1𝐴) → (card‘𝐴) = (card‘(𝑅1𝐴)))
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘𝐴) = (card‘(𝑅1𝐴)))
30 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) → 𝐴 ∈ On)
31 simplr 807 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑅1𝐴) ∈ Tarski)
3222adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) → 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴))
3332sselda 3636 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑅1𝐴))
34 tsksdom 9616 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅1𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1𝐴)) → 𝑥 ≺ (𝑅1𝐴))
3531, 33, 34syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≺ (𝑅1𝐴))
36 simpll 805 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ On)
3726ensymd 8048 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅1𝐴) ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑅1𝐴) ≈ 𝐴)
3831, 36, 37syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑅1𝐴) ≈ 𝐴)
39 sdomentr 8135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ≺ (𝑅1𝐴) ∧ (𝑅1𝐴) ≈ 𝐴) → 𝑥𝐴)
4035, 38, 39syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
4140ralrimiva 2995 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) → ∀𝑥𝐴 𝑥𝐴)
42 iscard 8839 . . . . . . . . . 10 ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐴))
4330, 41, 42sylanbrc 699 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) → (card‘𝐴) = 𝐴)
4443adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘𝐴) = 𝐴)
4529, 44eqtr3d 2687 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘(𝑅1𝐴)) = 𝐴)
46 r10 8669 . . . . . . . . . . 11 (𝑅1‘∅) = ∅
47 on0eln0 5818 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
4847biimpar 501 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
49 r1sdom 8675 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑅1‘∅) ≺ (𝑅1𝐴))
5048, 49syldan 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1‘∅) ≺ (𝑅1𝐴))
5146, 50syl5eqbrr 4721 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ (𝑅1𝐴))
52 fvex 6239 . . . . . . . . . . 11 (𝑅1𝐴) ∈ V
53520sdom 8132 . . . . . . . . . 10 (∅ ≺ (𝑅1𝐴) ↔ (𝑅1𝐴) ≠ ∅)
5451, 53sylib 208 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1𝐴) ≠ ∅)
5554adantlr 751 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅1𝐴) ≠ ∅)
56 tskcard 9641 . . . . . . . 8 (((𝑅1𝐴) ∈ Tarski ∧ (𝑅1𝐴) ≠ ∅) → (card‘(𝑅1𝐴)) ∈ Inacc)
572, 55, 56syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (card‘(𝑅1𝐴)) ∈ Inacc)
5845, 57eqeltrrd 2731 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Inacc)
5958ex 449 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) → (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ∈ Inacc))
601, 59syl5bir 233 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) → (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Inacc))
6160orrd 392 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑅1𝐴) ∈ Tarski) → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc))
6261ex 449 . 2 (𝐴 ∈ On → ((𝑅1𝐴) ∈ Tarski → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc)))
63 fveq2 6229 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝑅1𝐴) = (𝑅1‘∅))
6463, 46syl6eq 2701 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝑅1𝐴) = ∅)
65 0tsk 9615 . . . 4 ∅ ∈ Tarski
6664, 65syl6eqel 2738 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝑅1𝐴) ∈ Tarski)
67 inatsk 9638 . . 3 (𝐴 ∈ Inacc → (𝑅1𝐴) ∈ Tarski)
6866, 67jaoi 393 . 2 ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc) → (𝑅1𝐴) ∈ Tarski)
6962, 68impbid1 215 1 (𝐴 ∈ On → ((𝑅1𝐴) ∈ Tarski ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ∈ Inacc)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wss 3607  c0 3948   cuni 4468   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  cima 5146  Oncon0 5761  suc csuc 5763   Fn wfn 5921  cfv 5926  cen 7994  csdm 7996  𝑅1cr1 8663  rankcrnk 8664  cardccrd 8799  Inacccina 9543  Tarskictsk 9608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-ac2 9323
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-smo 7488  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-oi 8456  df-har 8504  df-r1 8665  df-rank 8666  df-card 8803  df-aleph 8804  df-cf 8805  df-acn 8806  df-ac 8977  df-wina 9544  df-ina 9545  df-tsk 9609
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