Theorem r1sscl 8811

Description: Each set of the cumulative hierarchy is closed under subsets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
r1sscl	⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → 𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵))

Proof of Theorem r1sscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1pwss 8810	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵))
2	1	adantr 466	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵))
3		elpw2g 4955	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → (𝐶 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐴))
4	3	biimpar 463	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝒫 𝐴)
5	2, 4	sseldd 3751	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → 𝐶 ∈ (𝑅1‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3721  𝒫 cpw 4295  ‘cfv 6031  𝑅₁cr1 8788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-r1 8790

This theorem is referenced by:  sswf  8834