MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1ord3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1ord3 8818
Description: Ordering relation for the cumulative hierarchy of sets. Part of Theorem 3.3(i) of [BellMachover] p. 478. (Contributed by NM, 22-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
r1ord3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))

Proof of Theorem r1ord3
StepHypRef Expression
1 r1fnon 8803 . . . 4 𝑅1 Fn On
2 fndm 6151 . . . 4 (𝑅1 Fn On → dom 𝑅1 = On)
31, 2ax-mp 5 . . 3 dom 𝑅1 = On
43eleq2i 2831 . 2 (𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 ∈ On)
53eleq2i 2831 . 2 (𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ On)
6 r1ord3g 8815 . 2 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))
74, 5, 6syl2anbr 498 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715  dom cdm 5266  Oncon0 5884   Fn wfn 6044  cfv 6049  𝑅1cr1 8798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-r1 8800
This theorem is referenced by:  bndrank  8877  rankval4  8903  aomclem2  38127
  Copyright terms: Public domain W3C validator