MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1fin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1fin 8674
Description: The first ω levels of the cumulative hierarchy are all finite. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
r1fin (𝐴 ∈ ω → (𝑅1𝐴) ∈ Fin)

Proof of Theorem r1fin
Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6229 . . 3 (𝑛 = ∅ → (𝑅1𝑛) = (𝑅1‘∅))
21eleq1d 2715 . 2 (𝑛 = ∅ → ((𝑅1𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑅1‘∅) ∈ Fin))
3 fveq2 6229 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → (𝑅1𝑛) = (𝑅1𝑚))
43eleq1d 2715 . 2 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑅1𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑅1𝑚) ∈ Fin))
5 fveq2 6229 . . 3 (𝑛 = suc 𝑚 → (𝑅1𝑛) = (𝑅1‘suc 𝑚))
65eleq1d 2715 . 2 (𝑛 = suc 𝑚 → ((𝑅1𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑅1‘suc 𝑚) ∈ Fin))
7 fveq2 6229 . . 3 (𝑛 = 𝐴 → (𝑅1𝑛) = (𝑅1𝐴))
87eleq1d 2715 . 2 (𝑛 = 𝐴 → ((𝑅1𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑅1𝐴) ∈ Fin))
9 r10 8669 . . 3 (𝑅1‘∅) = ∅
10 0fin 8229 . . 3 ∅ ∈ Fin
119, 10eqeltri 2726 . 2 (𝑅1‘∅) ∈ Fin
12 r1funlim 8667 . . . . . . . . 9 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
1312simpri 477 . . . . . . . 8 Lim dom 𝑅1
14 limomss 7112 . . . . . . . 8 (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7 ω ⊆ dom 𝑅1
1615sseli 3632 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ω → 𝑚 ∈ dom 𝑅1)
17 r1sucg 8670 . . . . . 6 (𝑚 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝑚) = 𝒫 (𝑅1𝑚))
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝑚 ∈ ω → (𝑅1‘suc 𝑚) = 𝒫 (𝑅1𝑚))
1918eleq1d 2715 . . . 4 (𝑚 ∈ ω → ((𝑅1‘suc 𝑚) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝑅1𝑚) ∈ Fin))
20 pwfi 8302 . . . 4 ((𝑅1𝑚) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝑅1𝑚) ∈ Fin)
2119, 20syl6rbbr 279 . . 3 (𝑚 ∈ ω → ((𝑅1𝑚) ∈ Fin ↔ (𝑅1‘suc 𝑚) ∈ Fin))
2221biimpd 219 . 2 (𝑚 ∈ ω → ((𝑅1𝑚) ∈ Fin → (𝑅1‘suc 𝑚) ∈ Fin))
232, 4, 6, 8, 11, 22finds 7134 1 (𝐴 ∈ ω → (𝑅1𝐴) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191  dom cdm 5143  Lim wlim 5762  suc csuc 5763  Fun wfun 5920  cfv 5926  ωcom 7107  Fincfn 7997  𝑅1cr1 8663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-r1 8665
This theorem is referenced by:  ackbij2lem2  9100  ackbij2  9103
  Copyright terms: Public domain W3C validator