MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1elwf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1elwf 8772
Description: Any member of the cumulative hierarchy is well-founded. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1elwf (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐴 (𝑅1 “ On))

Proof of Theorem r1elwf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1funlim 8742 . . . . . 6 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
21simpri 481 . . . . 5 Lim dom 𝑅1
3 limord 5897 . . . . 5 (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
4 ordsson 7106 . . . . 5 (Ord dom 𝑅1 → dom 𝑅1 ⊆ On)
52, 3, 4mp2b 10 . . . 4 dom 𝑅1 ⊆ On
6 elfvdm 6333 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
75, 6sseldi 3707 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐵 ∈ On)
8 r1tr 8752 . . . . . 6 Tr (𝑅1𝐵)
9 trss 4869 . . . . . 6 (Tr (𝑅1𝐵) → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵)))
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵))
11 elpwg 4274 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → (𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1𝐵) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵)))
1210, 11mpbird 247 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1𝐵))
13 r1sucg 8745 . . . . 5 (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐵) = 𝒫 (𝑅1𝐵))
146, 13syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → (𝑅1‘suc 𝐵) = 𝒫 (𝑅1𝐵))
1512, 14eleqtrrd 2806 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))
16 suceq 5903 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → suc 𝑥 = suc 𝐵)
1716fveq2d 6308 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝑅1‘suc 𝑥) = (𝑅1‘suc 𝐵))
1817eleq2d 2789 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥) ↔ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
1918rspcev 3413 . . 3 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥))
207, 15, 19syl2anc 696 . 2 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥))
21 rankwflemb 8769 . 2 (𝐴 (𝑅1 “ On) ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥))
2220, 21sylibr 224 1 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐴 (𝑅1 “ On))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1596  wcel 2103  wrex 3015  wss 3680  𝒫 cpw 4266   cuni 4544  Tr wtr 4860  dom cdm 5218  cima 5221  Ord word 5835  Oncon0 5836  Lim wlim 5837  suc csuc 5838  Fun wfun 5995  cfv 6001  𝑅1cr1 8738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-om 7183  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-r1 8740
This theorem is referenced by:  rankr1ai  8774  pwwf  8783  sswf  8784  unwf  8786  uniwf  8795  rankonidlem  8804  r1pw  8821  r1pwcl  8823  rankr1id  8838  tcrank  8860  dfac12lem2  9079  r1limwun  9671  r1wunlim  9672  inatsk  9713
  Copyright terms: Public domain W3C validator