MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qussub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qussub 17862
Description: Value of the group subtraction operation in a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusgrp.h 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
qusinv.v 𝑉 = (Base‘𝐺)
qussub.p = (-g𝐺)
qussub.a 𝑁 = (-g𝐻)
Assertion
Ref Expression
qussub ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))

Proof of Theorem qussub
StepHypRef Expression
1 qusgrp.h . . . . 5 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
2 qusinv.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2771 . . . . 5 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
41, 2, 3quseccl 17858 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
543adant3 1126 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
61, 2, 3quseccl 17858 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑌𝑉) → [𝑌](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
763adant2 1125 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → [𝑌](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
8 eqid 2771 . . . 4 (+g𝐻) = (+g𝐻)
9 eqid 2771 . . . 4 (invg𝐻) = (invg𝐻)
10 qussub.a . . . 4 𝑁 = (-g𝐻)
113, 8, 9, 10grpsubval 17673 . . 3 (([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻) ∧ [𝑌](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻)) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)((invg𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆))))
125, 7, 11syl2anc 573 . 2 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)((invg𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆))))
13 eqid 2771 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
141, 2, 13, 9qusinv 17861 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑌𝑉) → ((invg𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [((invg𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))
15143adant2 1125 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((invg𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [((invg𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))
1615oveq2d 6809 . 2 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)((invg𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆))) = ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[((invg𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)))
17 nsgsubg 17834 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
18 subgrcl 17807 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
202, 13grpinvcl 17675 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑉) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉)
2119, 20sylan 569 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑌𝑉) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉)
22213adant2 1125 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉)
23 eqid 2771 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
241, 2, 23, 8qusadd 17859 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉 ∧ ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[((invg𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌))](𝐺 ~QG 𝑆))
2522, 24syld3an3 1515 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[((invg𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌))](𝐺 ~QG 𝑆))
26 qussub.p . . . . . 6 = (-g𝐺)
272, 23, 13, 26grpsubval 17673 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
28273adant1 1124 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
2928eceq1d 7935 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → [(𝑋 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆) = [(𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌))](𝐺 ~QG 𝑆))
3025, 29eqtr4d 2808 . 2 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[((invg𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))
3112, 16, 303eqtrd 2809 1 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6031  (class class class)co 6793  [cec 7894  Basecbs 16064  +gcplusg 16149   /s cqus 16373  Grpcgrp 17630  invgcminusg 17631  -gcsg 17632  SubGrpcsubg 17796  NrmSGrpcnsg 17797   ~QG cqg 17798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-ec 7898  df-qs 7902  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-0g 16310  df-imas 16376  df-qus 16377  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-nsg 17800  df-eqg 17801
This theorem is referenced by:  qustgplem  22144
  Copyright terms: Public domain W3C validator