MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusrhm 19451
Description: If 𝑆 is a two-sided ideal in 𝑅, then the "natural map" from elements to their cosets is a ring homomorphism from 𝑅 to 𝑅 / 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusring.u 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
qusring.i 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
qusrhm.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
qusrhm.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ [𝑥](𝑅 ~QG 𝑆))
Assertion
Ref Expression
qusrhm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑈   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem qusrhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusrhm.x . 2 𝑋 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2770 . 2 (1r𝑅) = (1r𝑅)
3 eqid 2770 . 2 (1r𝑈) = (1r𝑈)
4 eqid 2770 . 2 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5 eqid 2770 . 2 (.r𝑈) = (.r𝑈)
6 simpl 468 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
7 qusring.u . . 3 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
8 qusring.i . . 3 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
97, 8qusring 19450 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑈 ∈ Ring)
10 eqid 2770 . . . . . . . . 9 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
11 eqid 2770 . . . . . . . . 9 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
12 eqid 2770 . . . . . . . . 9 (LIdeal‘(oppr𝑅)) = (LIdeal‘(oppr𝑅))
1310, 11, 12, 82idlval 19447 . . . . . . . 8 𝐼 = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘(oppr𝑅)))
1413elin2 3950 . . . . . . 7 (𝑆𝐼 ↔ (𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘(oppr𝑅))))
1514simplbi 479 . . . . . 6 (𝑆𝐼𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅))
1610lidlsubg 19429 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
1715, 16sylan2 572 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
18 eqid 2770 . . . . . 6 (𝑅 ~QG 𝑆) = (𝑅 ~QG 𝑆)
191, 18eqger 17851 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er 𝑋)
2017, 19syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er 𝑋)
21 fvex 6342 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
221, 21eqeltri 2845 . . . . 5 𝑋 ∈ V
2322a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑋 ∈ V)
24 qusrhm.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ [𝑥](𝑅 ~QG 𝑆))
2520, 23, 24divsfval 16414 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (𝐹‘(1r𝑅)) = [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝑆))
267, 8, 2qus1 19449 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (𝑈 ∈ Ring ∧ [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝑆) = (1r𝑈)))
2726simprd 477 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝑆) = (1r𝑈))
2825, 27eqtrd 2804 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑈))
297a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆)))
301a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑋 = (Base‘𝑅))
311, 18, 8, 42idlcpbl 19448 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(.r𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(.r𝑅)𝑑)))
321, 4ringcl 18768 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑋)
33323expb 1112 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑋)
3433adantlr 686 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑋)
3534caovclg 6972 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑐𝑋𝑑𝑋)) → (𝑐(.r𝑅)𝑑) ∈ 𝑋)
3629, 30, 20, 6, 31, 35, 4, 5qusmulval 16422 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → ([𝑦](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑧](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑦(.r𝑅)𝑧)](𝑅 ~QG 𝑆))
37363expb 1112 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ([𝑦](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑧](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑦(.r𝑅)𝑧)](𝑅 ~QG 𝑆))
3820adantr 466 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er 𝑋)
3922a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 𝑋 ∈ V)
4038, 39, 24divsfval 16414 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹𝑦) = [𝑦](𝑅 ~QG 𝑆))
4138, 39, 24divsfval 16414 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹𝑧) = [𝑧](𝑅 ~QG 𝑆))
4240, 41oveq12d 6810 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝐹𝑦)(.r𝑈)(𝐹𝑧)) = ([𝑦](𝑅 ~QG 𝑆)(.r𝑈)[𝑧](𝑅 ~QG 𝑆)))
4338, 39, 24divsfval 16414 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = [(𝑦(.r𝑅)𝑧)](𝑅 ~QG 𝑆))
4437, 42, 433eqtr4rd 2815 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹𝑦)(.r𝑈)(𝐹𝑧)))
45 ringabl 18787 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
4645adantr 466 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑅 ∈ Abel)
47 ablnsg 18456 . . . . 5 (𝑅 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
4846, 47syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
4917, 48eleqtrrd 2852 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
501, 7, 24qusghm 17904 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑈))
5149, 50syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑈))
521, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 28, 44, 51isrhm2d 18937 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  Vcvv 3349  cmpt 4861  cfv 6031  (class class class)co 6792   Er wer 7892  [cec 7893  Basecbs 16063  .rcmulr 16149   /s cqus 16372  SubGrpcsubg 17795  NrmSGrpcnsg 17796   ~QG cqg 17797   GrpHom cghm 17864  Abelcabl 18400  1rcur 18708  Ringcrg 18754  opprcoppr 18829   RingHom crh 18921  LIdealclidl 19384  2Idealc2idl 19445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-tpos 7503  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-ec 7897  df-qs 7901  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-fz 12533  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-0g 16309  df-imas 16375  df-qus 16376  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-mhm 17542  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-subg 17798  df-nsg 17799  df-eqg 17800  df-ghm 17865  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-oppr 18830  df-rnghom 18924  df-subrg 18987  df-lmod 19074  df-lss 19142  df-sra 19386  df-rgmod 19387  df-lidl 19388  df-2idl 19446
This theorem is referenced by:  znzrh2  20108
  Copyright terms: Public domain W3C validator