MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusinv 17861
Description: Value of the group inverse operation in a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusgrp.h 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
qusinv.v 𝑉 = (Base‘𝐺)
qusinv.i 𝐼 = (invg𝐺)
qusinv.n 𝑁 = (invg𝐻)
Assertion
Ref Expression
qusinv ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆))

Proof of Theorem qusinv
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 17834 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 subgrcl 17807 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
4 qusinv.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝐺)
5 qusinv.i . . . . . 6 𝐼 = (invg𝐺)
64, 5grpinvcl 17675 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉) → (𝐼𝑋) ∈ 𝑉)
73, 6sylan 569 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐼𝑋) ∈ 𝑉)
8 qusgrp.h . . . . 5 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
9 eqid 2771 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
10 eqid 2771 . . . . 5 (+g𝐻) = (+g𝐻)
118, 4, 9, 10qusadd 17859 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉 ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑋))](𝐺 ~QG 𝑆))
127, 11mpd3an3 1573 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑋))](𝐺 ~QG 𝑆))
13 eqid 2771 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
144, 9, 13, 5grprinv 17677 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑋)) = (0g𝐺))
153, 14sylan 569 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑋)) = (0g𝐺))
1615eceq1d 7939 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → [(𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑋))](𝐺 ~QG 𝑆) = [(0g𝐺)](𝐺 ~QG 𝑆))
178, 13qus0 17860 . . . 4 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [(0g𝐺)](𝐺 ~QG 𝑆) = (0g𝐻))
1817adantr 466 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → [(0g𝐺)](𝐺 ~QG 𝑆) = (0g𝐻))
1912, 16, 183eqtrd 2809 . 2 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆)) = (0g𝐻))
208qusgrp 17857 . . . 4 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
2120adantr 466 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → 𝐻 ∈ Grp)
22 eqid 2771 . . . 4 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
238, 4, 22quseccl 17858 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
248, 4, 22quseccl 17858 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝑉) → [(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
257, 24syldan 579 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → [(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
26 eqid 2771 . . . 4 (0g𝐻) = (0g𝐻)
27 qusinv.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐻)
2822, 10, 26, 27grpinvid1 17678 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻) ∧ [(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻)) → ((𝑁‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆)) = (0g𝐻)))
2921, 23, 25, 28syl3anc 1476 . 2 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑁‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆)) = (0g𝐻)))
3019, 29mpbird 247 1 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6030  (class class class)co 6796  [cec 7898  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16308   /s cqus 16373  Grpcgrp 17630  invgcminusg 17631  SubGrpcsubg 17796  NrmSGrpcnsg 17797   ~QG cqg 17798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-ec 7902  df-qs 7906  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-0g 16310  df-imas 16376  df-qus 16377  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-subg 17799  df-nsg 17800  df-eqg 17801
This theorem is referenced by:  qussub  17862
  Copyright terms: Public domain W3C validator