Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusgrp 17870
 Description: If 𝑌 is a normal subgroup of 𝐺, then 𝐻 = 𝐺 / 𝑌 is a group, called the quotient of 𝐺 by 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qusgrp.h 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
Assertion
Ref Expression
qusgrp (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Proof of Theorem qusgrp
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusgrp.h . . . 4 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
21a1i 11 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆)))
3 eqidd 2761 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
4 eqidd 2761 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (+g𝐺) = (+g𝐺))
5 nsgsubg 17847 . . . 4 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 eqid 2760 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7 eqid 2760 . . . . 5 (𝐺 ~QG 𝑆) = (𝐺 ~QG 𝑆)
86, 7eqger 17865 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝐺))
95, 8syl 17 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝐺))
10 subgrcl 17820 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
115, 10syl 17 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
12 eqid 2760 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
136, 7, 12eqgcpbl 17869 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝑎(𝐺 ~QG 𝑆)𝑐𝑏(𝐺 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(+g𝐺)𝑏)(𝐺 ~QG 𝑆)(𝑐(+g𝐺)𝑑)))
146, 12grpcl 17651 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑢(+g𝐺)𝑣) ∈ (Base‘𝐺))
1511, 14syl3an1 1167 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑢(+g𝐺)𝑣) ∈ (Base‘𝐺))
169adantr 472 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝐺 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝐺))
1711adantr 472 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝐺 ∈ Grp)
18 simpr1 1234 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐺))
19 simpr2 1236 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑣 ∈ (Base‘𝐺))
2017, 18, 19, 14syl3anc 1477 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑢(+g𝐺)𝑣) ∈ (Base‘𝐺))
21 simpr3 1238 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))
226, 12grpcl 17651 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢(+g𝐺)𝑣) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑢(+g𝐺)𝑣)(+g𝐺)𝑤) ∈ (Base‘𝐺))
2317, 20, 21, 22syl3anc 1477 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑢(+g𝐺)𝑣)(+g𝐺)𝑤) ∈ (Base‘𝐺))
2416, 23erref 7933 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑢(+g𝐺)𝑣)(+g𝐺)𝑤)(𝐺 ~QG 𝑆)((𝑢(+g𝐺)𝑣)(+g𝐺)𝑤))
256, 12grpass 17652 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑢(+g𝐺)𝑣)(+g𝐺)𝑤) = (𝑢(+g𝐺)(𝑣(+g𝐺)𝑤)))
2611, 25sylan 489 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑢(+g𝐺)𝑣)(+g𝐺)𝑤) = (𝑢(+g𝐺)(𝑣(+g𝐺)𝑤)))
2724, 26breqtrd 4830 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑢(+g𝐺)𝑣)(+g𝐺)𝑤)(𝐺 ~QG 𝑆)(𝑢(+g𝐺)(𝑣(+g𝐺)𝑤)))
28 eqid 2760 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
296, 28grpidcl 17671 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
3011, 29syl 17 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
316, 12, 28grplid 17673 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑢) = 𝑢)
3211, 31sylan 489 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑢) = 𝑢)
339adantr 472 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝐺))
34 simpr 479 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐺))
3533, 34erref 7933 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑢(𝐺 ~QG 𝑆)𝑢)
3632, 35eqbrtrd 4826 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑢)(𝐺 ~QG 𝑆)𝑢)
37 eqid 2760 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
386, 37grpinvcl 17688 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → ((invg𝐺)‘𝑢) ∈ (Base‘𝐺))
3911, 38sylan 489 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → ((invg𝐺)‘𝑢) ∈ (Base‘𝐺))
406, 12, 28, 37grplinv 17689 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → (((invg𝐺)‘𝑢)(+g𝐺)𝑢) = (0g𝐺))
4111, 40sylan 489 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → (((invg𝐺)‘𝑢)(+g𝐺)𝑢) = (0g𝐺))
4230adantr 472 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
4333, 42erref 7933 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → (0g𝐺)(𝐺 ~QG 𝑆)(0g𝐺))
4441, 43eqbrtrd 4826 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝐺)) → (((invg𝐺)‘𝑢)(+g𝐺)𝑢)(𝐺 ~QG 𝑆)(0g𝐺))
452, 3, 4, 9, 11, 13, 15, 27, 30, 36, 39, 44qusgrp2 17754 . 2 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (𝐻 ∈ Grp ∧ [(0g𝐺)](𝐺 ~QG 𝑆) = (0g𝐻)))
4645simpld 477 1 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   Er wer 7910  [cec 7911  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  0gc0g 16322   /s cqus 16387  Grpcgrp 17643  invgcminusg 17644  SubGrpcsubg 17809  NrmSGrpcnsg 17810   ~QG cqg 17811 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-ec 7915  df-qs 7919  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-0g 16324  df-imas 16390  df-qus 16391  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-subg 17812  df-nsg 17813  df-eqg 17814 This theorem is referenced by:  qus0  17873  qusinv  17874  qusghm  17918  qusabl  18488  qustgplem  22145  rzgrp  24520
 Copyright terms: Public domain W3C validator