MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusghm 17898
Description: If 𝑌 is a normal subgroup of 𝐺, then the "natural map" from elements to their cosets is a group homomorphism from 𝐺 to 𝐺 / 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusghm.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
qusghm.h 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑌))
qusghm.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌))
Assertion
Ref Expression
qusghm (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem qusghm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusghm.x . 2 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2760 . 2 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
3 eqid 2760 . 2 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 eqid 2760 . 2 (+g𝐻) = (+g𝐻)
5 nsgsubg 17827 . . 3 (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 subgrcl 17800 . . 3 (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
75, 6syl 17 . 2 (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
8 qusghm.h . . 3 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑌))
98qusgrp 17850 . 2 (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
108, 1, 2quseccl 17851 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑋) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ (Base‘𝐻))
11 qusghm.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌))
1210, 11fmptd 6548 . 2 (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐹:𝑋⟶(Base‘𝐻))
138, 1, 3, 4qusadd 17852 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → ([𝑦](𝐺 ~QG 𝑌)(+g𝐻)[𝑧](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑦(+g𝐺)𝑧)](𝐺 ~QG 𝑌))
14133expb 1114 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ([𝑦](𝐺 ~QG 𝑌)(+g𝐻)[𝑧](𝐺 ~QG 𝑌)) = [(𝑦(+g𝐺)𝑧)](𝐺 ~QG 𝑌))
15 eceq1 7949 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [𝑦](𝐺 ~QG 𝑌))
16 ovex 6841 . . . . . . 7 (𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
17 ecexg 7915 . . . . . . 7 ((𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . 6 [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) ∈ V
1915, 11, 18fvmpt3i 6449 . . . . 5 (𝑦𝑋 → (𝐹𝑦) = [𝑦](𝐺 ~QG 𝑌))
2019ad2antrl 766 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹𝑦) = [𝑦](𝐺 ~QG 𝑌))
21 eceq1 7949 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [𝑧](𝐺 ~QG 𝑌))
2221, 11, 18fvmpt3i 6449 . . . . 5 (𝑧𝑋 → (𝐹𝑧) = [𝑧](𝐺 ~QG 𝑌))
2322ad2antll 767 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹𝑧) = [𝑧](𝐺 ~QG 𝑌))
2420, 23oveq12d 6831 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝐹𝑦)(+g𝐻)(𝐹𝑧)) = ([𝑦](𝐺 ~QG 𝑌)(+g𝐻)[𝑧](𝐺 ~QG 𝑌)))
251, 3grpcl 17631 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑋)
26253expb 1114 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑋)
277, 26sylan 489 . . . 4 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑋)
28 eceq1 7949 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑌) = [(𝑦(+g𝐺)𝑧)](𝐺 ~QG 𝑌))
2928, 11, 18fvmpt3i 6449 . . . 4 ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑋 → (𝐹‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = [(𝑦(+g𝐺)𝑧)](𝐺 ~QG 𝑌))
3027, 29syl 17 . . 3 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = [(𝑦(+g𝐺)𝑧)](𝐺 ~QG 𝑌))
3114, 24, 303eqtr4rd 2805 . 2 ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝐹‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = ((𝐹𝑦)(+g𝐻)(𝐹𝑧)))
321, 2, 3, 4, 7, 9, 12, 31isghmd 17870 1 (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6813  [cec 7909  Basecbs 16059  +gcplusg 16143   /s cqus 16367  Grpcgrp 17623  SubGrpcsubg 17789  NrmSGrpcnsg 17790   ~QG cqg 17791   GrpHom cghm 17858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-ec 7913  df-qs 7917  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-0g 16304  df-imas 16370  df-qus 16371  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-subg 17792  df-nsg 17793  df-eqg 17794  df-ghm 17859
This theorem is referenced by:  qusrhm  19439
  Copyright terms: Public domain W3C validator