Theorem quotlem 24225

Description: Lemma for properties of the polynomial quotient function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plydiv.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1	⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
quotlem.8	⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐹 quot 𝐺)))

Assertion

Ref	Expression
quotlem	⊢ (𝜑 → ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem quotlem

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plydiv.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		plydiv.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
3		plydiv.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
4		eqid 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))
5	4	quotval 24217	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝐹 quot 𝐺) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1463	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 quot 𝐺) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
7		plydiv.pl	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
8		plydiv.tm	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
9		plydiv.rc	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
10		plydiv.m1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
11	7, 8, 9, 10, 1, 2, 3, 4	plydivalg 24224	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
12		reurex 3287	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
14		addcl 10181	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
15	14	adantl 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
16		mulcl 10183	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
17	16	adantl 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
18		reccl 10855	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
19	18	adantl 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
20		neg1cn 11287	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
22		plyssc 24126	. . . . . . 7 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
23	22, 1	sseldi 3730	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
24	22, 2	sseldi 3730	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
25	15, 17, 19, 21, 23, 24, 3, 4	plydivalg 24224	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
26		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
27	26	rgenw 3050	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
28		riotass2 6789	. . . . . 6 ⊢ ((((Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ) ∧ ∀𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ∧ (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ∧ ∃!𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) → (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
29	22, 27, 28	mpanl12 720	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ∧ ∃!𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
30	13, 25, 29	syl2anc 696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
31	6, 30	eqtr4d 2785	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 quot 𝐺) = (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
32		riotacl2 6775	. . . 4 ⊢ (∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))})
33	11, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (℩𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))})
34	31, 33	eqeltrd 2827	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 quot 𝐺) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))})
35		oveq2 6809	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞) = (𝐺 ∘𝑓 · (𝐹 quot 𝐺)))
36	35	oveq2d 6817	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐹 quot 𝐺))))
37		quotlem.8	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · (𝐹 quot 𝐺)))
38	36, 37	syl6eqr 2800	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 𝑅)
39	38	eqeq1d 2750	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ↔ 𝑅 = 0𝑝))
40	38	fveq2d 6344	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) = (deg‘𝑅))
41	40	breq1d 4802	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → ((deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
42	39, 41	orbi12d 748	. . 3 ⊢ (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
43	42	elrab 3492	. 2 ⊢ ((𝐹 quot 𝐺) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − (𝐺 ∘𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))} ↔ ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
44	34, 43	sylib 208	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   ≠ wne 2920  ∀wral 3038  ∃wrex 3039  ∃!wreu 3040  {crab 3042   ⊆ wss 3703   class class class wbr 4792  ‘cfv 6037  ℩crio 6761  (class class class)co 6801   ∘_𝑓 cof 7048  ℂcc 10097  0cc0 10099  1c1 10100   + caddc 10102   · cmul 10104   < clt 10237   − cmin 10429  -cneg 10430   / cdiv 10847  0_𝑝c0p 23606  Polycply 24110  degcdgr 24113   quot cquot 24215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177  ax-addf 10178

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-fl 12758  df-seq 12967  df-exp 13026  df-hash 13283  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-clim 14389  df-rlim 14390  df-sum 14587  df-0p 23607  df-ply 24114  df-coe 24116  df-dgr 24117  df-quot 24216

This theorem is referenced by:  quotcl  24226  quotdgr  24228