Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quoremnn0ALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quoremnn0ALT 12850
 Description: Alternate proof of quoremnn0 12849 not using quoremz 12848. TODO - Keep either quoremnn0ALT 12850 (if we don't keep quoremz 12848) or quoremnn0 12849. (Contributed by NM, 14-Aug-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
quorem.1 𝑄 = (⌊‘(𝐴 / 𝐵))
quorem.2 𝑅 = (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))
Assertion
Ref Expression
quoremnn0ALT ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑄 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 < 𝐵𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))))

Proof of Theorem quoremnn0ALT
StepHypRef Expression
1 quorem.1 . . 3 𝑄 = (⌊‘(𝐴 / 𝐵))
2 fldivnn0 12817 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℕ0)
31, 2syl5eqel 2843 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℕ0)
4 quorem.2 . . 3 𝑅 = (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))
5 nnnn0 11491 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
65adantl 473 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ0)
76, 3nn0mulcld 11548 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℕ0)
8 simpl 474 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ0)
93nn0cnd 11545 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℂ)
10 nncn 11220 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
1110adantl 473 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
12 nnne0 11245 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
1312adantl 473 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ≠ 0)
149, 11, 13divcan3d 10998 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) = 𝑄)
15 nn0nndivcl 11554 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
16 flle 12794 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
181, 17syl5eqbr 4839 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ≤ (𝐴 / 𝐵))
1914, 18eqbrtrd 4826 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵))
207nn0red 11544 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℝ)
21 nn0re 11493 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
2221adantr 472 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
23 nnre 11219 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
2423adantl 473 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
25 nngt0 11241 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
2625adantl 473 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
27 lediv1 11080 . . . . . 6 (((𝐵 · 𝑄) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
2820, 22, 24, 26, 27syl112anc 1481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
2919, 28mpbird 247 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴)
30 nn0sub2 11630 . . . 4 (((𝐵 · 𝑄) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴) → (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) ∈ ℕ0)
317, 8, 29, 30syl3anc 1477 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) ∈ ℕ0)
324, 31syl5eqel 2843 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ0)
331oveq2i 6824 . . . . . 6 ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄) = ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
34 fraclt1 12797 . . . . . . 7 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < 1)
3515, 34syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < 1)
3633, 35syl5eqbr 4839 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄) < 1)
374oveq1i 6823 . . . . . 6 (𝑅 / 𝐵) = ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵)
38 nn0cn 11494 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)
3938adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
407nn0cnd 11545 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ)
4110, 12jca 555 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
4241adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
43 divsubdir 10913 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)))
4439, 40, 42, 43syl3anc 1477 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)))
4514oveq2d 6829 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
4644, 45eqtrd 2794 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
4737, 46syl5eq 2806 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
4810, 12dividd 10991 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 / 𝐵) = 1)
4948adantl 473 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / 𝐵) = 1)
5036, 47, 493brtr4d 4836 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵))
5132nn0red 11544 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
52 ltdiv1 11079 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝑅 < 𝐵 ↔ (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵)))
5351, 24, 24, 26, 52syl112anc 1481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 < 𝐵 ↔ (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵)))
5450, 53mpbird 247 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 < 𝐵)
554oveq2i 6824 . . . 4 ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅) = ((𝐵 · 𝑄) + (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)))
5640, 39pncan3d 10587 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) + (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))) = 𝐴)
5755, 56syl5req 2807 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))
5854, 57jca 555 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 < 𝐵𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅)))
593, 32, 58jca31 558 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑄 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 < 𝐵𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  ℝcr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266   ≤ cle 10267   − cmin 10458   / cdiv 10876  ℕcn 11212  ℕ0cn0 11484  ⌊cfl 12785 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fl 12787 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator