MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quartlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quartlem2 24806
Description: Closure lemmas for quart 24809. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
quart.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
quart.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
quart.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
quart.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
quart.e (𝜑𝐸 = -(𝐴 / 4))
quart.p (𝜑𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
quart.q (𝜑𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
quart.r (𝜑𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
quart.u (𝜑𝑈 = ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)))
quart.v (𝜑𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
quart.w (𝜑𝑊 = (√‘((𝑉↑2) − (4 · (𝑈↑3)))))
Assertion
Ref Expression
quartlem2 (𝜑 → (𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑉 ∈ ℂ ∧ 𝑊 ∈ ℂ))

Proof of Theorem quartlem2
StepHypRef Expression
1 quart.u . . 3 (𝜑𝑈 = ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)))
2 quart.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 quart.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 quart.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5 quart.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
6 quart.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
7 quart.q . . . . . . 7 (𝜑𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
8 quart.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8quart1cl 24802 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))
109simp1d 1137 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
1110sqcld 13221 . . . 4 (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℂ)
12 1nn0 11521 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
13 2nn 11398 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
1412, 13decnncl 11731 . . . . . 6 12 ∈ ℕ
1514nncni 11243 . . . . 5 12 ∈ ℂ
169simp3d 1139 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
17 mulcl 10233 . . . . 5 ((12 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (12 · 𝑅) ∈ ℂ)
1815, 16, 17sylancr 698 . . . 4 (𝜑 → (12 · 𝑅) ∈ ℂ)
1911, 18addcld 10272 . . 3 (𝜑 → ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)) ∈ ℂ)
201, 19eqeltrd 2840 . 2 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
21 quart.v . . 3 (𝜑𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
22 2cn 11304 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
23 3nn0 11523 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
24 expcl 13093 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑃↑3) ∈ ℂ)
2510, 23, 24sylancl 697 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃↑3) ∈ ℂ)
26 mulcl 10233 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑃↑3) ∈ ℂ) → (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
2722, 25, 26sylancr 698 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
2827negcld 10592 . . . . 5 (𝜑 → -(2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
29 2nn0 11522 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
30 7nn 11403 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ
3129, 30decnncl 11731 . . . . . . 7 27 ∈ ℕ
3231nncni 11243 . . . . . 6 27 ∈ ℂ
339simp2d 1138 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
3433sqcld 13221 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄↑2) ∈ ℂ)
35 mulcl 10233 . . . . . 6 ((27 ∈ ℂ ∧ (𝑄↑2) ∈ ℂ) → (27 · (𝑄↑2)) ∈ ℂ)
3632, 34, 35sylancr 698 . . . . 5 (𝜑 → (27 · (𝑄↑2)) ∈ ℂ)
3728, 36subcld 10605 . . . 4 (𝜑 → (-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) ∈ ℂ)
38 7nn0 11527 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ0
3938, 13decnncl 11731 . . . . . 6 72 ∈ ℕ
4039nncni 11243 . . . . 5 72 ∈ ℂ
4110, 16mulcld 10273 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 · 𝑅) ∈ ℂ)
42 mulcl 10233 . . . . 5 ((72 ∈ ℂ ∧ (𝑃 · 𝑅) ∈ ℂ) → (72 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
4340, 41, 42sylancr 698 . . . 4 (𝜑 → (72 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
4437, 43addcld 10272 . . 3 (𝜑 → ((-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))) ∈ ℂ)
4521, 44eqeltrd 2840 . 2 (𝜑𝑉 ∈ ℂ)
46 quart.w . . 3 (𝜑𝑊 = (√‘((𝑉↑2) − (4 · (𝑈↑3)))))
4745sqcld 13221 . . . . 5 (𝜑 → (𝑉↑2) ∈ ℂ)
48 4cn 11311 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
49 expcl 13093 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑈↑3) ∈ ℂ)
5020, 23, 49sylancl 697 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈↑3) ∈ ℂ)
51 mulcl 10233 . . . . . 6 ((4 ∈ ℂ ∧ (𝑈↑3) ∈ ℂ) → (4 · (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
5248, 50, 51sylancr 698 . . . . 5 (𝜑 → (4 · (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
5347, 52subcld 10605 . . . 4 (𝜑 → ((𝑉↑2) − (4 · (𝑈↑3))) ∈ ℂ)
5453sqrtcld 14396 . . 3 (𝜑 → (√‘((𝑉↑2) − (4 · (𝑈↑3)))) ∈ ℂ)
5546, 54eqeltrd 2840 . 2 (𝜑𝑊 ∈ ℂ)
5620, 45, 553jca 1123 1 (𝜑 → (𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑉 ∈ ℂ ∧ 𝑊 ∈ ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140  cfv 6050  (class class class)co 6815  cc 10147  1c1 10150   + caddc 10152   · cmul 10154  cmin 10479  -cneg 10480   / cdiv 10897  2c2 11283  3c3 11284  4c4 11285  5c5 11286  6c6 11287  7c7 11288  8c8 11289  0cn0 11505  cdc 11706  cexp 13075  csqrt 14193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-sup 8516  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-rp 12047  df-seq 13017  df-exp 13076  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196
This theorem is referenced by:  quartlem3  24807  quart  24809
  Copyright terms: Public domain W3C validator