MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quart1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quart1lem 24627
Description: Lemma for quart1 24628. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart1.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
quart1.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
quart1.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
quart1.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
quart1.p (𝜑𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
quart1.q (𝜑𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
quart1.r (𝜑𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
quart1.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
quart1.y (𝜑𝑌 = (𝑋 + (𝐴 / 4)))
Assertion
Ref Expression
quart1lem (𝜑𝐷 = ((((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) + ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅)))

Proof of Theorem quart1lem
StepHypRef Expression
1 quart1.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2 quart1.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 quart1.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
42, 3mulcld 10098 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
54halfcld 11315 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
61, 5subcld 10430 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
7 3nn0 11348 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℕ0
8 expcl 12918 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
92, 7, 8sylancl 695 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
10 8cn 11144 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℂ
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 8 ∈ ℂ)
12 8nn 11229 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℕ
1312nnne0i 11093 . . . . . . . . . 10 8 ≠ 0
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 8 ≠ 0)
159, 11, 14divcld 10839 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴↑3) / 8) ∈ ℂ)
16 4cn 11136 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
18 4ne0 11155 . . . . . . . . . 10 4 ≠ 0
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 4 ≠ 0)
202, 17, 19divcld 10839 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 / 4) ∈ ℂ)
216, 15, 20adddird 10103 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)) · (𝐴 / 4)) = (((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) · (𝐴 / 4)) + (((𝐴↑3) / 8) · (𝐴 / 4))))
22 quart1.q . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
2322oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 · (𝐴 / 4)) = (((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)) · (𝐴 / 4)))
241, 2, 17, 19divassd 10874 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) / 4) = (𝐶 · (𝐴 / 4)))
252sqvald 13045 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
2625oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐴) · 𝐵))
272, 2, 3mul32d 10284 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) · 𝐴))
2826, 27eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) · 𝐴))
2928oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) = (((𝐴 · 𝐵) · 𝐴) / 8))
30 2cn 11129 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
31 4t2e8 11219 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 · 2) = 8
3216, 30, 31mulcomli 10085 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 4) = 8
3332oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 · 𝐵) · 𝐴) / (2 · 4)) = (((𝐴 · 𝐵) · 𝐴) / 8)
3429, 33syl6eqr 2703 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) = (((𝐴 · 𝐵) · 𝐴) / (2 · 4)))
3530a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
36 2ne0 11151 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≠ 0)
384, 35, 2, 17, 37, 19divmuldivd 10880 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) / 2) · (𝐴 / 4)) = (((𝐴 · 𝐵) · 𝐴) / (2 · 4)))
3934, 38eqtr4d 2688 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) = (((𝐴 · 𝐵) / 2) · (𝐴 / 4)))
4024, 39oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) = ((𝐶 · (𝐴 / 4)) − (((𝐴 · 𝐵) / 2) · (𝐴 / 4))))
411, 5, 20subdird 10525 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) · (𝐴 / 4)) = ((𝐶 · (𝐴 / 4)) − (((𝐴 · 𝐵) / 2) · (𝐴 / 4))))
4240, 41eqtr4d 2688 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) · (𝐴 / 4)))
43 df-4 11119 . . . . . . . . . . . . . 14 4 = (3 + 1)
4443oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴↑4) = (𝐴↑(3 + 1))
45 expp1 12907 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(3 + 1)) = ((𝐴↑3) · 𝐴))
462, 7, 45sylancl 695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴↑(3 + 1)) = ((𝐴↑3) · 𝐴))
4744, 46syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴↑4) = ((𝐴↑3) · 𝐴))
4847oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴↑4) / 8) = (((𝐴↑3) · 𝐴) / 8))
499, 2, 11, 14div23d 10876 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴↑3) · 𝐴) / 8) = (((𝐴↑3) / 8) · 𝐴))
5048, 49eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴↑4) / 8) = (((𝐴↑3) / 8) · 𝐴))
5150oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴↑4) / 8) / 4) = ((((𝐴↑3) / 8) · 𝐴) / 4))
5215, 2, 17, 19divassd 10874 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐴↑3) / 8) · 𝐴) / 4) = (((𝐴↑3) / 8) · (𝐴 / 4)))
5351, 52eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴↑4) / 8) / 4) = (((𝐴↑3) / 8) · (𝐴 / 4)))
5442, 53oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + (((𝐴↑4) / 8) / 4)) = (((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) · (𝐴 / 4)) + (((𝐴↑3) / 8) · (𝐴 / 4))))
5521, 23, 543eqtr4d 2695 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 · (𝐴 / 4)) = ((((𝐶 · 𝐴) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + (((𝐴↑4) / 8) / 4)))
561, 2mulcld 10098 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
5756, 17, 19divcld 10839 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) / 4) ∈ ℂ)
582sqcld 13046 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
5958, 3mulcld 10098 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐵) ∈ ℂ)
6059, 11, 14divcld 10839 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) ∈ ℂ)
61 4nn0 11349 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ0
62 expcl 12918 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
632, 61, 62sylancl 695 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
6463, 11, 14divcld 10839 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴↑4) / 8) ∈ ℂ)
6564, 17, 19divcld 10839 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴↑4) / 8) / 4) ∈ ℂ)
6657, 60, 65subadd23d 10452 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + (((𝐴↑4) / 8) / 4)) = (((𝐶 · 𝐴) / 4) + ((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8))))
6765, 60subcld 10430 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) ∈ ℂ)
6857, 67addcomd 10276 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴) / 4) + ((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8))) = (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((𝐶 · 𝐴) / 4)))
6955, 66, 683eqtrd 2689 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄 · (𝐴 / 4)) = (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((𝐶 · 𝐴) / 4)))
70 quart1.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
71 quart1.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
72 1nn0 11346 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ0
73 6nn 11227 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℕ
7472, 73decnncl 11556 . . . . . . . . . . 11 16 ∈ ℕ
7574nncni 11068 . . . . . . . . . 10 16 ∈ ℂ
7675a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑16 ∈ ℂ)
7774nnne0i 11093 . . . . . . . . . 10 16 ≠ 0
7877a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑16 ≠ 0)
7959, 76, 78divcld 10839 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) ∈ ℂ)
80 3cn 11133 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
81 2nn0 11347 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
82 5nn0 11350 . . . . . . . . . . . . 13 5 ∈ ℕ0
8381, 82deccl 11550 . . . . . . . . . . . 12 25 ∈ ℕ0
8483, 73decnncl 11556 . . . . . . . . . . 11 256 ∈ ℕ
8584nncni 11068 . . . . . . . . . 10 256 ∈ ℂ
8684nnne0i 11093 . . . . . . . . . 10 256 ≠ 0
8780, 85, 86divcli 10805 . . . . . . . . 9 (3 / 256) ∈ ℂ
88 mulcl 10058 . . . . . . . . 9 (((3 / 256) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑4) ∈ ℂ) → ((3 / 256) · (𝐴↑4)) ∈ ℂ)
8987, 63, 88sylancr 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((3 / 256) · (𝐴↑4)) ∈ ℂ)
9079, 89subcld 10430 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4))) ∈ ℂ)
9171, 90, 57addsubd 10451 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))) − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
9270, 91eqtr4d 2688 . . . . 5 (𝜑𝑅 = ((𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))) − ((𝐶 · 𝐴) / 4)))
9369, 92oveq12d 6708 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅) = ((((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))) − ((𝐶 · 𝐴) / 4))))
9471, 90addcld 10097 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))) ∈ ℂ)
9567, 57, 94ppncand 10470 . . . 4 (𝜑 → ((((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))) − ((𝐶 · 𝐴) / 4))) = (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + (𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4))))))
9667, 71, 90add12d 10300 . . . . 5 (𝜑 → (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + (𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4))))) = (𝐷 + (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4))))))
9760, 89addcld 10097 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / 256) · (𝐴↑4))) ∈ ℂ)
9865, 79addcld 10097 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)) ∈ ℂ)
9997, 98negsubdi2d 10446 . . . . . . 7 (𝜑 → -(((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / 256) · (𝐴↑4))) − ((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16))) = (((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)) − ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
10065, 79addcomd 10276 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((𝐴↑4) / 8) / 4)))
101100oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / 256) · (𝐴↑4))) − ((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16))) = (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / 256) · (𝐴↑4))) − ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((𝐴↑4) / 8) / 4))))
10260, 89, 79, 65addsub4d 10477 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / 256) · (𝐴↑4))) − ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((𝐴↑4) / 8) / 4))) = (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)) + (((3 / 256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4))))
10380a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
10485a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑256 ∈ ℂ)
10586a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑256 ≠ 0)
106103, 63, 104, 105divassd 10874 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((3 · (𝐴↑4)) / 256) = (3 · ((𝐴↑4) / 256)))
107103, 63, 104, 105div23d 10876 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((3 · (𝐴↑4)) / 256) = ((3 / 256) · (𝐴↑4)))
108 1p2e3 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 + 2) = 3
109108oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 + 2) · ((𝐴↑4) / 256)) = (3 · ((𝐴↑4) / 256))
110 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11163, 104, 105divcld 10839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐴↑4) / 256) ∈ ℂ)
112110, 35, 111adddird 10103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((1 + 2) · ((𝐴↑4) / 256)) = ((1 · ((𝐴↑4) / 256)) + (2 · ((𝐴↑4) / 256))))
113109, 112syl5eqr 2699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (3 · ((𝐴↑4) / 256)) = ((1 · ((𝐴↑4) / 256)) + (2 · ((𝐴↑4) / 256))))
114111mulid2d 10096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 · ((𝐴↑4) / 256)) = ((𝐴↑4) / 256))
115114oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((1 · ((𝐴↑4) / 256)) + (2 · ((𝐴↑4) / 256))) = (((𝐴↑4) / 256) + (2 · ((𝐴↑4) / 256))))
116113, 115eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (3 · ((𝐴↑4) / 256)) = (((𝐴↑4) / 256) + (2 · ((𝐴↑4) / 256))))
117106, 107, 1163eqtr3d 2693 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((3 / 256) · (𝐴↑4)) = (((𝐴↑4) / 256) + (2 · ((𝐴↑4) / 256))))
11843oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = ((3 + 1) · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))
11965, 17, 19divcld 10839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4) ∈ ℂ)
120103, 110, 119adddird 10103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((3 + 1) · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (1 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))))
121118, 120syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (4 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (1 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))))
12265, 17, 19divcan2d 10841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (4 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = (((𝐴↑4) / 8) / 4))
123119mulid2d 10096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))
12464, 17, 17, 19, 19divdiv1d 10870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4) = (((𝐴↑4) / 8) / (4 · 4)))
125 4t4e16 11671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (4 · 4) = 16
126125oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴↑4) / 8) / (4 · 4)) = (((𝐴↑4) / 8) / 16)
127124, 126syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4) = (((𝐴↑4) / 8) / 16))
12863, 11, 76, 14, 78divdiv1d 10870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((𝐴↑4) / 8) / 16) = ((𝐴↑4) / (8 · 16)))
12910, 75mulcli 10083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (8 · 16) ∈ ℂ
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (8 · 16) ∈ ℂ)
13110, 75, 13, 77mulne0i 10708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (8 · 16) ≠ 0
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (8 · 16) ≠ 0)
13363, 130, 132divcld 10839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐴↑4) / (8 · 16)) ∈ ℂ)
134133, 35, 37divcan2d 10841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 · (((𝐴↑4) / (8 · 16)) / 2)) = ((𝐴↑4) / (8 · 16)))
13563, 130, 35, 132, 37divdiv1d 10870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐴↑4) / (8 · 16)) / 2) = ((𝐴↑4) / ((8 · 16) · 2)))
13610, 75, 30mul32i 10270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((8 · 16) · 2) = ((8 · 2) · 16)
137 2exp4 15841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2↑4) = 16
138 8t2e16 11692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (8 · 2) = 16
139137, 138eqtr4i 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2↑4) = (8 · 2)
140139, 137oveq12i 6702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2↑4) · (2↑4)) = ((8 · 2) · 16)
141 4p4e8 11202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (4 + 4) = 8
142141oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2↑(4 + 4)) = (2↑8)
143 expadd 12942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) → (2↑(4 + 4)) = ((2↑4) · (2↑4)))
14430, 61, 61, 143mp3an 1464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2↑(4 + 4)) = ((2↑4) · (2↑4))
145 2exp8 15843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2↑8) = 256
146142, 144, 1453eqtr3i 2681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2↑4) · (2↑4)) = 256
147136, 140, 1463eqtr2i 2679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((8 · 16) · 2) = 256
148147oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴↑4) / ((8 · 16) · 2)) = ((𝐴↑4) / 256)
149135, 148syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝐴↑4) / (8 · 16)) / 2) = ((𝐴↑4) / 256))
150149oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 · (((𝐴↑4) / (8 · 16)) / 2)) = (2 · ((𝐴↑4) / 256)))
151128, 134, 1503eqtr2d 2691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((𝐴↑4) / 8) / 16) = (2 · ((𝐴↑4) / 256)))
152123, 127, 1513eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = (2 · ((𝐴↑4) / 256)))
153152oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (1 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))) = ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (2 · ((𝐴↑4) / 256))))
154121, 122, 1533eqtr3d 2693 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐴↑4) / 8) / 4) = ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (2 · ((𝐴↑4) / 256))))
155117, 154oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((3 / 256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4)) = ((((𝐴↑4) / 256) + (2 · ((𝐴↑4) / 256))) − ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (2 · ((𝐴↑4) / 256)))))
156 mulcl 10058 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 ∈ ℂ ∧ ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4) ∈ ℂ) → (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) ∈ ℂ)
15780, 119, 156sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) ∈ ℂ)
158 mulcl 10058 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑4) / 256) ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴↑4) / 256)) ∈ ℂ)
15930, 111, 158sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · ((𝐴↑4) / 256)) ∈ ℂ)
160111, 157, 159pnpcan2d 10468 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 256) + (2 · ((𝐴↑4) / 256))) − ((3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) + (2 · ((𝐴↑4) / 256)))) = (((𝐴↑4) / 256) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))))
161155, 160eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((3 / 256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4)) = (((𝐴↑4) / 256) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))))
162161oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((3 / 256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4))) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((𝐴↑4) / 256) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)))))
16379, 111, 157addsub12d 10453 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((𝐴↑4) / 256) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)))) = (((𝐴↑4) / 256) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)))))
164162, 163eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((3 / 256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4))) = (((𝐴↑4) / 256) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)))))
16559, 11, 35, 14, 37divdiv1d 10870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) / 2) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / (8 · 2)))
166138oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴↑2) · 𝐵) / (8 · 2)) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)
167165, 166syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) / 2) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16))
168167oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) / 2)) = (2 · (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)))
16960, 35, 37divcan2d 10841 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) / 2)) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8))
170792timesd 11313 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)))
171168, 169, 1703eqtr3d 2693 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)))
172171oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)) = (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)))
17379, 79pncand 10431 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16))
174172, 173eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16))
175174oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)) + (((3 / 256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4))) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) + (((3 / 256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4))))
176 quart1.p . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
177176oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)) = ((𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))) · ((𝐴 / 4)↑2)))
17880, 10, 13divcli 10805 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 / 8) ∈ ℂ
179 mulcl 10058 . . . . . . . . . . . . . 14 (((3 / 8) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((3 / 8) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
180178, 58, 179sylancr 696 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((3 / 8) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
18120sqcld 13046 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 / 4)↑2) ∈ ℂ)
1823, 180, 181subdird 10525 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))) · ((𝐴 / 4)↑2)) = ((𝐵 · ((𝐴 / 4)↑2)) − (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴 / 4)↑2))))
1832, 17, 19sqdivd 13061 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴 / 4)↑2) = ((𝐴↑2) / (4↑2)))
18416sqvali 12983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (4↑2) = (4 · 4)
185184, 125eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4↑2) = 16
186185oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴↑2) / (4↑2)) = ((𝐴↑2) / 16)
187183, 186syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴 / 4)↑2) = ((𝐴↑2) / 16))
188187oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 · ((𝐴 / 4)↑2)) = (𝐵 · ((𝐴↑2) / 16)))
1893, 58, 76, 78divassd 10874 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵 · (𝐴↑2)) / 16) = (𝐵 · ((𝐴↑2) / 16)))
1903, 58mulcomd 10099 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 · (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) · 𝐵))
191190oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵 · (𝐴↑2)) / 16) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16))
192188, 189, 1913eqtr2d 2691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 · ((𝐴 / 4)↑2)) = (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16))
193178a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (3 / 8) ∈ ℂ)
194193, 58, 58mulassd 10101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝐴↑2)) = ((3 / 8) · ((𝐴↑2) · (𝐴↑2))))
195103, 63, 11, 14div23d 10876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((3 · (𝐴↑4)) / 8) = ((3 / 8) · (𝐴↑4)))
196 2p2e4 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 + 2) = 4
197196oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴↑(2 + 2)) = (𝐴↑4)
19881a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
1992, 198, 198expaddd 13050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐴↑(2 + 2)) = ((𝐴↑2) · (𝐴↑2)))
200197, 199syl5eqr 2699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐴↑4) = ((𝐴↑2) · (𝐴↑2)))
201200oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((3 / 8) · (𝐴↑4)) = ((3 / 8) · ((𝐴↑2) · (𝐴↑2))))
202195, 201eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((3 · (𝐴↑4)) / 8) = ((3 / 8) · ((𝐴↑2) · (𝐴↑2))))
203103, 63, 11, 14divassd 10874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((3 · (𝐴↑4)) / 8) = (3 · ((𝐴↑4) / 8)))
204194, 202, 2033eqtr2d 2691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝐴↑2)) = (3 · ((𝐴↑4) / 8)))
205204oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝐴↑2)) / (4↑2)) = ((3 · ((𝐴↑4) / 8)) / (4↑2)))
206185, 76syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (4↑2) ∈ ℂ)
207185, 77eqnetri 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4↑2) ≠ 0
208207a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (4↑2) ≠ 0)
209180, 58, 206, 208divassd 10874 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝐴↑2)) / (4↑2)) = (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴↑2) / (4↑2))))
210103, 64, 206, 208divassd 10874 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((3 · ((𝐴↑4) / 8)) / (4↑2)) = (3 · (((𝐴↑4) / 8) / (4↑2))))
211205, 209, 2103eqtr3d 2693 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴↑2) / (4↑2))) = (3 · (((𝐴↑4) / 8) / (4↑2))))
212183oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴 / 4)↑2)) = (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴↑2) / (4↑2))))
213185oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴↑4) / 8) / (4↑2)) = (((𝐴↑4) / 8) / 16)
214127, 213syl6eqr 2703 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4) = (((𝐴↑4) / 8) / (4↑2)))
215214oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)) = (3 · (((𝐴↑4) / 8) / (4↑2))))
216211, 212, 2153eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴 / 4)↑2)) = (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)))
217192, 216oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵 · ((𝐴 / 4)↑2)) − (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · ((𝐴 / 4)↑2))) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))))
218177, 182, 2173eqtrd 2689 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)) = ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4))))
219218oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) = (((𝐴↑4) / 256) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − (3 · ((((𝐴↑4) / 8) / 4) / 4)))))
220164, 175, 2193eqtr4d 2695 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)) + (((3 / 256) · (𝐴↑4)) − (((𝐴↑4) / 8) / 4))) = (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))))
221101, 102, 2203eqtrd 2689 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / 256) · (𝐴↑4))) − ((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16))) = (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))))
222221negeqd 10313 . . . . . . 7 (𝜑 → -(((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / 256) · (𝐴↑4))) − ((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16))) = -(((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))))
22365, 79, 60, 89addsub4d 10477 . . . . . . 7 (𝜑 → (((((𝐴↑4) / 8) / 4) + (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16)) − ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 8) + ((3 / 256) · (𝐴↑4)))) = (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
22499, 222, 2233eqtr3rd 2694 . . . . . 6 (𝜑 → (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))) = -(((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))))
225224oveq2d 6706 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 + (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4))))) = (𝐷 + -(((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))))
2263, 180subcld 10430 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
227176, 226eqeltrd 2730 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
228227, 181mulcld 10098 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)) ∈ ℂ)
229111, 228addcld 10097 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) ∈ ℂ)
23071, 229negsubd 10436 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 + -(((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))) = (𝐷 − (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))))
23196, 225, 2303eqtrd 2689 . . . 4 (𝜑 → (((((𝐴↑4) / 8) / 4) − (((𝐴↑2) · 𝐵) / 8)) + (𝐷 + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4))))) = (𝐷 − (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))))
23293, 95, 2313eqtrd 2689 . . 3 (𝜑 → ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅) = (𝐷 − (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))))
233232oveq2d 6706 . 2 (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) + ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅)) = ((((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) + (𝐷 − (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))))))
234229, 71pncan3d 10433 . 2 (𝜑 → ((((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) + (𝐷 − (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))))) = 𝐷)
235233, 234eqtr2d 2686 1 (𝜑𝐷 = ((((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) + ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  5c5 11111  6c6 11112  8c8 11114  0cn0 11330  cdc 11531  cexp 12900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-seq 12842  df-exp 12901
This theorem is referenced by:  quart1  24628
  Copyright terms: Public domain W3C validator