Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qsqueeze Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qsqueeze 12225
 Description: If a nonnegative real is less than any positive rational, it is zero. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
qsqueeze ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 = 0)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem qsqueeze
StepHypRef Expression
1 0re 10232 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
2 ltnle 10309 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
31, 2mpan 708 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
4 qbtwnre 12223 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥𝑥 < 𝐴))
51, 4mp3an1 1560 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥𝑥 < 𝐴))
65ex 449 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥𝑥 < 𝐴)))
7 qre 11986 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
8 ltnsym 10327 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑥 → ¬ 𝑥 < 𝐴))
98con2d 129 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝑥))
107, 9sylan2 492 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → (𝑥 < 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝑥))
1110anim2d 590 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → ((0 < 𝑥𝑥 < 𝐴) → (0 < 𝑥 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥)))
1211reximdva 3155 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥𝑥 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥)))
136, 12syld 47 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥)))
143, 13sylbird 250 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ≤ 0 → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥)))
15 rexanali 3136 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥))
1614, 15syl6ib 241 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ≤ 0 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥)))
1716con4d 114 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) → 𝐴 ≤ 0))
1817imp 444 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 ≤ 0)
19183adant2 1126 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 ≤ 0)
20 letri3 10315 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
211, 20mpan2 709 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
2221rbaibd 987 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 = 0 ↔ 𝐴 ≤ 0))
23223adant3 1127 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥)) → (𝐴 = 0 ↔ 𝐴 ≤ 0))
2419, 23mpbird 247 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  ∃wrex 3051   class class class wbr 4804  ℝcr 10127  0cc0 10128   < clt 10266   ≤ cle 10267  ℚcq 11981 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator