Theorem qqhval2lem 30334

Description: Lemma for qqhval2 30335. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhval2.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1	⊢ / = (/r‘𝑅)
qqhval2.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
qqhval2lem	⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))) / (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌)))) = ((𝐿‘𝑋) / (𝐿‘𝑌)))

Proof of Theorem qqhval2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 18956	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		qqhval2.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
3	2	zrhrhm 20062	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
5	4	ad2antrr 764	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
6		simpr1 1234	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝑋 ∈ ℤ)
7		simpr2 1236	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝑌 ∈ ℤ)
8	6, 7	gcdcld 15432	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 11672	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ)
10		simpr3 1238	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝑌 ≠ 0)
11		gcdeq0 15440	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝑋 gcd 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)))
12	11	simplbda 655	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 gcd 𝑌) = 0) → 𝑌 = 0)
13	12	ex 449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝑋 gcd 𝑌) = 0 → 𝑌 = 0))
14	13	necon3d 2953	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑌 ≠ 0 → (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0))
15	14	imp 444	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0)
16	6, 7, 10, 15	syl21anc 1476	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0)
17		gcddvds 15427	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑋 ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑌))
18	6, 7, 17	syl2anc 696	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑋 ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑌))
19	18	simpld 477	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑋)
20		dvdsval2 15185	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑋 ↔ (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ))
21	20	biimpa 502	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑋) → (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ)
22	9, 16, 6, 19, 21	syl31anc 1480	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ)
23	18	simprd 482	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑌)
24		dvdsval2 15185	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑌 ↔ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ))
25	24	biimpa 502	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑌) → (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ)
26	9, 16, 7, 23, 25	syl31anc 1480	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ)
27		zringbas 20026	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
28		qqhval2.0	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
29	27, 28	rhmf 18928	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
30	5, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
31	30, 26	ffvelrnd 6523	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ 𝐵)
32		ffn 6206	. . . . . 6 ⊢ (𝐿:ℤ⟶𝐵 → 𝐿 Fn ℤ)
33	30, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝐿 Fn ℤ)
34	7	zcnd 11675	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝑌 ∈ ℂ)
35	9	zcnd 11675	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℂ)
36	34, 35, 10, 16	divne0d 11009	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ≠ 0)
37		ovex 6841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ V
38	37	elsn 4336	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {0} ↔ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) = 0)
39	38	necon3bbii 2979	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {0} ↔ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ≠ 0)
40	36, 39	sylibr 224	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ¬ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {0})
41	1	ad2antrr 764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝑅 ∈ Ring)
42		simplr 809	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (chr‘𝑅) = 0)
43		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
44	28, 2, 43	zrhker 30330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 0 ↔ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0}))
45	44	biimpa 502	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0})
46	41, 42, 45	syl2anc 696	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0})
47	40, 46	neleqtrrd 2861	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ¬ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}))
48		elpreima 6500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 Fn ℤ → ((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) ↔ ((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ {(0g‘𝑅)})))
49	48	baibd 986	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ) → ((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ {(0g‘𝑅)}))
50	49	biimprd 238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ {(0g‘𝑅)} → (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})))
51	50	con3dimp 456	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})) → ¬ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ {(0g‘𝑅)})
52		fvex 6362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ V
53	52	elsn 4336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) = (0g‘𝑅))
54	53	necon3bbii 2979	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ≠ (0g‘𝑅))
55	51, 54	sylib 208	. . . . 5 ⊢ (((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})) → (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ≠ (0g‘𝑅))
56	33, 26, 47, 55	syl21anc 1476	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ≠ (0g‘𝑅))
57		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
58	28, 57, 43	drngunit 18954	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ≠ (0g‘𝑅))))
59	58	ad2antrr 764	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ≠ (0g‘𝑅))))
60	31, 56, 59	mpbir2and 995	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ (Unit‘𝑅))
61	30, 9	ffvelrnd 6523	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ 𝐵)
62		ovex 6841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ V
63	62	elsn 4336	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 gcd 𝑌) ∈ {0} ↔ (𝑋 gcd 𝑌) = 0)
64	63	necon3bbii 2979	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ {0} ↔ (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0)
65	16, 64	sylibr 224	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ¬ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ {0})
66	65, 46	neleqtrrd 2861	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ¬ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}))
67		elpreima 6500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 Fn ℤ → ((𝑋 gcd 𝑌) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) ↔ ((𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {(0g‘𝑅)})))
68	67	baibd 986	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ) → ((𝑋 gcd 𝑌) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {(0g‘𝑅)}))
69	68	biimprd 238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {(0g‘𝑅)} → (𝑋 gcd 𝑌) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})))
70	69	con3dimp 456	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})) → ¬ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {(0g‘𝑅)})
71		fvex 6362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ V
72	71	elsn 4336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) = (0g‘𝑅))
73	72	necon3bbii 2979	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ≠ (0g‘𝑅))
74	70, 73	sylib 208	. . . . 5 ⊢ (((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})) → (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ≠ (0g‘𝑅))
75	33, 9, 66, 74	syl21anc 1476	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ≠ (0g‘𝑅))
76	28, 57, 43	drngunit 18954	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ≠ (0g‘𝑅))))
77	76	ad2antrr 764	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ≠ (0g‘𝑅))))
78	61, 75, 77	mpbir2and 995	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅))
79		qqhval2.1	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
80		zringmulr 20029	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℤring)
81	57, 27, 79, 80	rhmdvd 30130	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ ((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ ∧ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ) ∧ ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅))) → ((𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌)))))
82	5, 22, 26, 9, 60, 78, 81	syl132anc 1495	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌)))))
83		divnumden 15658	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝑋 / 𝑌)) = (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∧ (denom‘(𝑋 / 𝑌)) = (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))))
84	6, 83	sylan 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝑋 / 𝑌)) = (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∧ (denom‘(𝑋 / 𝑌)) = (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))))
85	84	simpld 477	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (numer‘(𝑋 / 𝑌)) = (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)))
86	85	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) = (numer‘(𝑋 / 𝑌)))
87	86	fveq2d 6356	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) = (𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))))
88	84	simprd 482	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (denom‘(𝑋 / 𝑌)) = (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))
89	88	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) = (denom‘(𝑋 / 𝑌)))
90	89	fveq2d 6356	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) = (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌))))
91	87, 90	oveq12d 6831	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → ((𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))) / (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌)))))
92	22	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ)
93	92	zcnd 11675	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℂ)
94	93	mulm1d 10674	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (-1 · (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) = -(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)))
95		neg1cn 11316	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
96	95	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
97	96, 93	mulcomd 10253	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (-1 · (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) = ((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1))
98	94, 97	eqtr3d 2796	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → -(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) = ((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1))
99	98	fveq2d 6356	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘-(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) = (𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1)))
100	26	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ)
101	100	zcnd 11675	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℂ)
102	101	mulm1d 10674	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (-1 · (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) = -(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))
103	96, 101	mulcomd 10253	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (-1 · (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) = ((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1))
104	102, 103	eqtr3d 2796	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → -(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) = ((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1))
105	104	fveq2d 6356	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘-(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) = (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1)))
106	99, 105	oveq12d 6831	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → ((𝐿‘-(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘-(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1)) / (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1))))
107	6	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℤ)
108	7	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ ℤ)
109		simpr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → -𝑌 ∈ ℕ)
110		divnumden2 29873	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝑋 / 𝑌)) = -(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∧ (denom‘(𝑋 / 𝑌)) = -(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))))
111	107, 108, 109, 110	syl3anc 1477	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝑋 / 𝑌)) = -(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∧ (denom‘(𝑋 / 𝑌)) = -(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))))
112	111	simpld 477	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (numer‘(𝑋 / 𝑌)) = -(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)))
113	112	fveq2d 6356	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))) = (𝐿‘-(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))))
114	111	simprd 482	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (denom‘(𝑋 / 𝑌)) = -(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))
115	114	fveq2d 6356	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌))) = (𝐿‘-(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))))
116	113, 115	oveq12d 6831	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → ((𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))) / (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌)))) = ((𝐿‘-(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘-(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))))
117	5	adantr 472	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
118		1zzd 11600	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
119	118	znegcld 11676	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℤ)
120	60	adantr 472	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ (Unit‘𝑅))
121		neg1z 11605	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℤ
122		ax-1cn 10186	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
123	122	absnegi 14338	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
124		abs1 14236	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘1) = 1
125	123, 124	eqtri 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘-1) = 1
126		zringunit 20038	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (-1 ∈ ℤ ∧ (abs‘-1) = 1))
127	121, 125, 126	mpbir2an 993	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ (Unit‘ℤring)
128	127	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → -1 ∈ (Unit‘ℤring))
129		elrhmunit 30129	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ -1 ∈ (Unit‘ℤring)) → (𝐿‘-1) ∈ (Unit‘𝑅))
130	117, 128, 129	syl2anc 696	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘-1) ∈ (Unit‘𝑅))
131	57, 27, 79, 80	rhmdvd 30130	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ ((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ ∧ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) ∧ ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝐿‘-1) ∈ (Unit‘𝑅))) → ((𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1)) / (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1))))
132	117, 92, 100, 119, 120, 130, 131	syl132anc 1495	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → ((𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1)) / (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1))))
133	106, 116, 132	3eqtr4rd 2805	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → ((𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))) / (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌)))))
134		simp3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → 𝑌 ≠ 0)
135	134	neneqd 2937	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ¬ 𝑌 = 0)
136		simp2 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → 𝑌 ∈ ℤ)
137		elz 11571	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝑌 = 0 ∨ 𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ)))
138	136, 137	sylib 208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝑌 = 0 ∨ 𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ)))
139	138	simprd 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑌 = 0 ∨ 𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ))
140		3orass 1075	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 = 0 ∨ 𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ) ↔ (𝑌 = 0 ∨ (𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ)))
141	139, 140	sylib 208	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑌 = 0 ∨ (𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ)))
142		orel1 396	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑌 = 0 → ((𝑌 = 0 ∨ (𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ)) → (𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ)))
143	135, 141, 142	sylc 65	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ))
144	143	adantl 473	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ))
145	91, 133, 144	mpjaodan 862	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))) / (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌)))))
146	6	zcnd 11675	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝑋 ∈ ℂ)
147	146, 35, 16	divcan1d 10994	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌)) = 𝑋)
148	147	fveq2d 6356	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌))) = (𝐿‘𝑋))
149	34, 35, 16	divcan1d 10994	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌)) = 𝑌)
150	149	fveq2d 6356	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌))) = (𝐿‘𝑌))
151	148, 150	oveq12d 6831	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘𝑋) / (𝐿‘𝑌)))
152	82, 145, 151	3eqtr3d 2802	1 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))) / (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌)))) = ((𝐿‘𝑋) / (𝐿‘𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∨ w3o 1071   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  {csn 4321   class class class wbr 4804  ^◡ccnv 5265   “ cima 5269   Fn wfn 6044  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  ℝcr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   · cmul 10133  -cneg 10459   / cdiv 10876  ℕcn 11212  ℤcz 11569  abscabs 14173   ∥ cdvds 15182   gcd cgcd 15418  numercnumer 15643  denomcdenom 15644  Basecbs 16059  0_gc0g 16302  Ringcrg 18747  Unitcui 18839  /_rcdvr 18882   RingHom crh 18914  DivRingcdr 18949  ℤ_ringzring 20020  ℤRHomczrh 20050  chrcchr 20052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-dvds 15183  df-gcd 15419  df-numer 15645  df-denom 15646  df-gz 15836  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-od 18148  df-cmn 18395  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-dvr 18883  df-rnghom 18917  df-drng 18951  df-subrg 18980  df-cnfld 19949  df-zring 20021  df-zrh 20054  df-chr 20056

This theorem is referenced by:  qqhval2  30335  qqhvq  30340