Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqhucn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qqhucn 30316
Description: The ℚHom homomorphism is uniformly continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhucn.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhucn.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qqhucn.u 𝑈 = (UnifSt‘𝑄)
qqhucn.v 𝑉 = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
qqhucn.z 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
qqhucn.1 (𝜑𝑅 ∈ NrmRing)
qqhucn.2 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
qqhucn.3 (𝜑𝑍 ∈ NrmMod)
qqhucn.4 (𝜑 → (chr‘𝑅) = 0)
Assertion
Ref Expression
qqhucn (𝜑 → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑈 Cnu𝑉))

Proof of Theorem qqhucn
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qqhucn.2 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
2 qqhucn.4 . . . 4 (𝜑 → (chr‘𝑅) = 0)
3 qqhucn.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2748 . . . . 5 (/r𝑅) = (/r𝑅)
5 eqid 2748 . . . . 5 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
63, 4, 5qqhf 30310 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵)
71, 2, 6syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵)
8 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
9 qqhucn.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ NrmRing)
10 nrgngp 22638 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ NrmGrp)
1211ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
137ffvelrnda 6510 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘𝑝) ∈ 𝐵)
1413adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘𝑝) ∈ 𝐵)
157adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵)
1615ffvelrnda 6510 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞) ∈ 𝐵)
17 eqid 2748 . . . . . . . . . . . . . 14 (norm‘𝑅) = (norm‘𝑅)
18 eqid 2748 . . . . . . . . . . . . . 14 (-g𝑅) = (-g𝑅)
19 eqid 2748 . . . . . . . . . . . . . 14 (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
2017, 3, 18, 19ngpdsr 22581 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ ((ℚHom‘𝑅)‘𝑝) ∈ 𝐵 ∧ ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞) ∈ 𝐵) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = ((norm‘𝑅)‘(((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑝))))
2112, 14, 16, 20syl3anc 1463 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = ((norm‘𝑅)‘(((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑝))))
22 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑞 ∈ ℚ)
23 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑝 ∈ ℚ)
24 qsubdrg 19971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂflds ℚ) ∈ DivRing)
2524simpli 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)
26 subrgsubg 18959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℚ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℚ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
28 cnfldsub 19947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 − = (-g‘ℂfld)
29 qqhucn.q . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑄 = (ℂflds ℚ)
30 eqid 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-g𝑄) = (-g𝑄)
3128, 29, 30subgsub 17778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℚ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑞𝑝) = (𝑞(-g𝑄)𝑝))
3227, 31mp3an1 1548 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑞𝑝) = (𝑞(-g𝑄)𝑝))
3322, 23, 32syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑞𝑝) = (𝑞(-g𝑄)𝑝))
3433fveq2d 6344 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞𝑝)) = ((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞(-g𝑄)𝑝)))
353, 4, 5, 29qqhghm 30312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅))
361, 2, 35syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅))
3736ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅))
3829qrngbas 25478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℚ = (Base‘𝑄)
3938, 30, 18ghmsub 17840 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅) ∧ 𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞(-g𝑄)𝑝)) = (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)))
4037, 22, 23, 39syl3anc 1463 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞(-g𝑄)𝑝)) = (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)))
4134, 40eqtr2d 2783 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)) = ((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞𝑝)))
4241fveq2d 6344 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((norm‘𝑅)‘(((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑝))) = ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞𝑝))))
439, 1elind 3929 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing))
4443ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing))
45 qqhucn.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍 ∈ NrmMod)
4645ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑍 ∈ NrmMod)
472ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (chr‘𝑅) = 0)
48 qsubcl 11971 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑞𝑝) ∈ ℚ)
4922, 23, 48syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑞𝑝) ∈ ℚ)
50 qqhucn.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
5117, 50qqhnm 30314 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑞𝑝) ∈ ℚ) → ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞𝑝))) = (abs‘(𝑞𝑝)))
5244, 46, 47, 49, 51syl31anc 1466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞𝑝))) = (abs‘(𝑞𝑝)))
5321, 42, 523eqtrd 2786 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = (abs‘(𝑞𝑝)))
5414, 16ovresd 6954 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)))
55 qsscn 11963 . . . . . . . . . . . . . 14 ℚ ⊆ ℂ
5655, 23sseldi 3730 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑝 ∈ ℂ)
5755, 22sseldi 3730 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑞 ∈ ℂ)
58 eqid 2748 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
5958cnmetdval 22746 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ) → (𝑝(abs ∘ − )𝑞) = (abs‘(𝑝𝑞)))
6056, 57, 59syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑝(abs ∘ − )𝑞) = (abs‘(𝑝𝑞)))
6123, 22ovresd 6954 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) = (𝑝(abs ∘ − )𝑞))
6257, 56abssubd 14362 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (abs‘(𝑞𝑝)) = (abs‘(𝑝𝑞)))
6360, 61, 623eqtr4d 2792 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) = (abs‘(𝑞𝑝)))
6453, 54, 633eqtr4rd 2793 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) = (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)))
6564breq1d 4802 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 ↔ (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6665biimpd 219 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6766ralrimiva 3092 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6867ralrimiva 3092 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6968adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
70 breq2 4796 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑒 → ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 ↔ (𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒))
7170imbi1d 330 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑒 → (((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒) ↔ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒)))
72712ralbidv 3115 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑒 → (∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒) ↔ ∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒)))
7372rspcev 3437 . . . . 5 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
748, 69, 73syl2anc 696 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
7574ralrimiva 3092 . . 3 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
76 eqid 2748 . . . 4 (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))) = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)))
77 qqhucn.v . . . 4 𝑉 = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
78 0z 11551 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
79 zq 11958 . . . . . 6 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
80 ne0i 4052 . . . . . 6 (0 ∈ ℚ → ℚ ≠ ∅)
8178, 79, 80mp2b 10 . . . . 5 ℚ ≠ ∅
8281a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℚ ≠ ∅)
83 drngring 18927 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
84 eqid 2748 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
853, 84ringidcl 18739 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
86 ne0i 4052 . . . . 5 ((1r𝑅) ∈ 𝐵𝐵 ≠ ∅)
871, 83, 85, 864syl 19 . . . 4 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
88 cnfldxms 22752 . . . . . . . 8 fld ∈ ∞MetSp
89 qex 11964 . . . . . . . 8 ℚ ∈ V
90 ressxms 22502 . . . . . . . 8 ((ℂfld ∈ ∞MetSp ∧ ℚ ∈ V) → (ℂflds ℚ) ∈ ∞MetSp)
9188, 89, 90mp2an 710 . . . . . . 7 (ℂflds ℚ) ∈ ∞MetSp
9229, 91eqeltri 2823 . . . . . 6 𝑄 ∈ ∞MetSp
93 cnfldds 19929 . . . . . . . . 9 (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
9429, 93ressds 16246 . . . . . . . 8 (ℚ ∈ V → (abs ∘ − ) = (dist‘𝑄))
9589, 94ax-mp 5 . . . . . . 7 (abs ∘ − ) = (dist‘𝑄)
9638, 95xmsxmet2 22436 . . . . . 6 (𝑄 ∈ ∞MetSp → ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (∞Met‘ℚ))
9792, 96mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (∞Met‘ℚ))
98 xmetpsmet 22325 . . . . 5 (((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (∞Met‘ℚ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (PsMet‘ℚ))
9997, 98syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (PsMet‘ℚ))
100 ngpxms 22577 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
1013, 19xmsxmet2 22436 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵))
1029, 10, 100, 1014syl 19 . . . . 5 (𝜑 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵))
103 xmetpsmet 22325 . . . . 5 (((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵) → ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (PsMet‘𝐵))
104102, 103syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (PsMet‘𝐵))
10576, 77, 82, 87, 99, 104metucn 22548 . . 3 (𝜑 → ((ℚHom‘𝑅) ∈ ((metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))) Cnu𝑉) ↔ ((ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))))
1067, 75, 105mpbir2and 995 . 2 (𝜑 → (ℚHom‘𝑅) ∈ ((metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))) Cnu𝑉))
107 qqhucn.u . . . . . 6 𝑈 = (UnifSt‘𝑄)
10829fveq2i 6343 . . . . . 6 (UnifSt‘𝑄) = (UnifSt‘(ℂflds ℚ))
109 ressuss 22239 . . . . . . 7 (ℚ ∈ V → (UnifSt‘(ℂflds ℚ)) = ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℚ × ℚ)))
11089, 109ax-mp 5 . . . . . 6 (UnifSt‘(ℂflds ℚ)) = ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℚ × ℚ))
111107, 108, 1103eqtri 2774 . . . . 5 𝑈 = ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℚ × ℚ))
112 eqid 2748 . . . . . . 7 (UnifSt‘ℂfld) = (UnifSt‘ℂfld)
113112cnflduss 23323 . . . . . 6 (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − ))
114113oveq1i 6811 . . . . 5 ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℚ × ℚ)) = ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℚ × ℚ))
115 cnxmet 22748 . . . . . . 7 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
116 xmetpsmet 22325 . . . . . . 7 ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ))
117115, 116ax-mp 5 . . . . . 6 (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ)
118 restmetu 22547 . . . . . 6 ((ℚ ≠ ∅ ∧ (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ) ∧ ℚ ⊆ ℂ) → ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℚ × ℚ)) = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))))
11981, 117, 55, 118mp3an 1561 . . . . 5 ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℚ × ℚ)) = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)))
120111, 114, 1193eqtri 2774 . . . 4 𝑈 = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)))
121120a1i 11 . . 3 (𝜑𝑈 = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))))
122121oveq1d 6816 . 2 (𝜑 → (𝑈 Cnu𝑉) = ((metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))) Cnu𝑉))
123106, 122eleqtrrd 2830 1 (𝜑 → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑈 Cnu𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920  wral 3038  wrex 3039  Vcvv 3328  cin 3702  wss 3703  c0 4046   class class class wbr 4792   × cxp 5252  cres 5256  ccom 5258  wf 6033  cfv 6037  (class class class)co 6801  cc 10097  0cc0 10099   < clt 10237  cmin 10429  cz 11540  cq 11952  +crp 11996  abscabs 14144  Basecbs 16030  s cress 16031  distcds 16123  t crest 16254  -gcsg 17596  SubGrpcsubg 17760   GrpHom cghm 17829  1rcur 18672  Ringcrg 18718  /rcdvr 18853  DivRingcdr 18920  SubRingcsubrg 18949  PsMetcpsmet 19903  ∞Metcxmt 19904  metUnifcmetu 19910  fldccnfld 19919  ℤRHomczrh 20021  ℤModczlm 20022  chrcchr 20023  UnifStcuss 22229   Cnucucn 22251  ∞MetSpcxme 22294  normcnm 22553  NrmGrpcngp 22554  NrmRingcnrg 22556  NrmModcnlm 22557  ℚHomcqqh 30296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177  ax-addf 10178  ax-mulf 10179
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-tpos 7509  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-inf 8502  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-q 11953  df-rp 11997  df-xneg 12110  df-xadd 12111  df-xmul 12112  df-ico 12345  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-fl 12758  df-mod 12834  df-seq 12967  df-exp 13026  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-dvds 15154  df-gcd 15390  df-numer 15616  df-denom 15617  df-gz 15807  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-starv 16129  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-unif 16138  df-rest 16256  df-topn 16257  df-0g 16275  df-topgen 16277  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-mhm 17507  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-sbg 17599  df-mulg 17713  df-subg 17763  df-ghm 17830  df-od 18119  df-cmn 18366  df-abl 18367  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-ring 18720  df-cring 18721  df-oppr 18794  df-dvdsr 18812  df-unit 18813  df-invr 18843  df-dvr 18854  df-rnghom 18888  df-drng 18922  df-subrg 18951  df-abv 18990  df-lmod 19038  df-nzr 19431  df-psmet 19911  df-xmet 19912  df-met 19913  df-bl 19914  df-mopn 19915  df-fbas 19916  df-fg 19917  df-metu 19918  df-cnfld 19920  df-zring 19992  df-zrh 20025  df-zlm 20026  df-chr 20027  df-top 20872  df-topon 20889  df-topsp 20910  df-bases 20923  df-fil 21822  df-ust 22176  df-uss 22232  df-ucn 22252  df-xms 22297  df-ms 22298  df-nm 22559  df-ngp 22560  df-nrg 22562  df-nlm 22563  df-qqh 30297
This theorem is referenced by:  rrhcn  30321
  Copyright terms: Public domain W3C validator