Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqh0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qqh0 30368
Description: The image of 0 by the ℚHom homomorphism is the ring's zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1 / = (/r𝑅)
qqhval2.2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
qqh0 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = (0g𝑅))

Proof of Theorem qqh0
StepHypRef Expression
1 zssq 12003 . . . 4 ℤ ⊆ ℚ
2 0z 11595 . . . 4 0 ∈ ℤ
31, 2sselii 3749 . . 3 0 ∈ ℚ
4 qqhval2.0 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 qqhval2.1 . . . 4 / = (/r𝑅)
6 qqhval2.2 . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
74, 5, 6qqhvval 30367 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 0 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))))
83, 7mpan2 671 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))))
9 1z 11614 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
10 gcd0id 15448 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℤ → (0 gcd 1) = (abs‘1))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0 gcd 1) = (abs‘1)
12 abs1 14245 . . . . . . . . . 10 (abs‘1) = 1
1311, 12eqtri 2793 . . . . . . . . 9 (0 gcd 1) = 1
14 0cn 10238 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℂ
1514div1i 10959 . . . . . . . . . 10 (0 / 1) = 0
1615eqcomi 2780 . . . . . . . . 9 0 = (0 / 1)
1713, 16pm3.2i 456 . . . . . . . 8 ((0 gcd 1) = 1 ∧ 0 = (0 / 1))
18 1nn 11237 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
19 qnumdenbi 15659 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (((0 gcd 1) = 1 ∧ 0 = (0 / 1)) ↔ ((numer‘0) = 0 ∧ (denom‘0) = 1)))
203, 2, 18, 19mp3an 1572 . . . . . . . 8 (((0 gcd 1) = 1 ∧ 0 = (0 / 1)) ↔ ((numer‘0) = 0 ∧ (denom‘0) = 1))
2117, 20mpbi 220 . . . . . . 7 ((numer‘0) = 0 ∧ (denom‘0) = 1)
2221simpli 470 . . . . . 6 (numer‘0) = 0
2322fveq2i 6336 . . . . 5 (𝐿‘(numer‘0)) = (𝐿‘0)
2421simpri 473 . . . . . 6 (denom‘0) = 1
2524fveq2i 6336 . . . . 5 (𝐿‘(denom‘0)) = (𝐿‘1)
2623, 25oveq12i 6808 . . . 4 ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))) = ((𝐿‘0) / (𝐿‘1))
27 drngring 18964 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
28 eqid 2771 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
296, 28zrh0 20077 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘0) = (0g𝑅))
30 eqid 2771 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
316, 30zrh1 20076 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r𝑅))
3229, 31oveq12d 6814 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → ((𝐿‘0) / (𝐿‘1)) = ((0g𝑅) / (1r𝑅)))
3327, 32syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘0) / (𝐿‘1)) = ((0g𝑅) / (1r𝑅)))
34 drnggrp 18965 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Grp)
354, 28grpidcl 17658 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Grp → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
3634, 35syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
374, 5, 30dvr1 18897 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) → ((0g𝑅) / (1r𝑅)) = (0g𝑅))
3827, 36, 37syl2anc 573 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → ((0g𝑅) / (1r𝑅)) = (0g𝑅))
3933, 38eqtrd 2805 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘0) / (𝐿‘1)) = (0g𝑅))
4026, 39syl5eq 2817 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))) = (0g𝑅))
4140adantr 466 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))) = (0g𝑅))
428, 41eqtrd 2805 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = (0g𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6030  (class class class)co 6796  0cc0 10142  1c1 10143   / cdiv 10890  cn 11226  cz 11584  cq 11996  abscabs 14182   gcd cgcd 15424  numercnumer 15648  denomcdenom 15649  Basecbs 16064  0gc0g 16308  Grpcgrp 17630  1rcur 18709  Ringcrg 18755  /rcdvr 18890  DivRingcdr 18957  ℤRHomczrh 20063  chrcchr 20065  ℚHomcqqh 30356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-tpos 7508  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-numer 15650  df-denom 15651  df-gz 15841  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-od 18155  df-cmn 18402  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-rnghom 18925  df-drng 18959  df-subrg 18988  df-cnfld 19962  df-zring 20034  df-zrh 20067  df-chr 20069  df-qqh 30357
This theorem is referenced by:  qqhcn  30375  rrh0  30399
  Copyright terms: Public domain W3C validator