Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qndenserrnbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qndenserrnbl 41032
 Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
qndenserrnbl.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
qndenserrnbl.x (𝜑𝑋 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
qndenserrnbl.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
qndenserrnbl.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
qndenserrnbl (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐷   𝑦,𝐸   𝑦,𝐼   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Proof of Theorem qndenserrnbl
StepHypRef Expression
1 0ex 4924 . . . . . 6 ∅ ∈ V
21snid 4347 . . . . 5 ∅ ∈ {∅}
32a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐼 = ∅) → ∅ ∈ {∅})
4 oveq2 6801 . . . . . 6 (𝐼 = ∅ → (ℚ ↑𝑚 𝐼) = (ℚ ↑𝑚 ∅))
5 qex 12003 . . . . . . . 8 ℚ ∈ V
6 mapdm0 8024 . . . . . . . 8 (ℚ ∈ V → (ℚ ↑𝑚 ∅) = {∅})
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℚ ↑𝑚 ∅) = {∅}
87a1i 11 . . . . . 6 (𝐼 = ∅ → (ℚ ↑𝑚 ∅) = {∅})
94, 8eqtr2d 2806 . . . . 5 (𝐼 = ∅ → {∅} = (ℚ ↑𝑚 𝐼))
109adantl 467 . . . 4 ((𝜑𝐼 = ∅) → {∅} = (ℚ ↑𝑚 𝐼))
113, 10eleqtrd 2852 . . 3 ((𝜑𝐼 = ∅) → ∅ ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼))
12 qndenserrnbl.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
13 qndenserrnbl.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
1413rrxmetfi 41024 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 𝐼)))
1512, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 𝐼)))
16 metxmet 22359 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 𝐼)))
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 𝐼)))
1817adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝐼 = ∅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 𝐼)))
19 qndenserrnbl.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
2019adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 = ∅) → 𝑋 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
21 oveq2 6801 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 = ∅ → (ℝ ↑𝑚 𝐼) = (ℝ ↑𝑚 ∅))
22 reex 10229 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ V
23 mapdm0 8024 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ ∈ V → (ℝ ↑𝑚 ∅) = {∅})
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ↑𝑚 ∅) = {∅}
2524a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 = ∅ → (ℝ ↑𝑚 ∅) = {∅})
2621, 25eqtrd 2805 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = ∅ → (ℝ ↑𝑚 𝐼) = {∅})
2726adantl 467 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 = ∅) → (ℝ ↑𝑚 𝐼) = {∅})
2820, 27eleqtrd 2852 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 = ∅) → 𝑋 ∈ {∅})
29 elsng 4330 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → (𝑋 ∈ {∅} ↔ 𝑋 = ∅))
3019, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 ∈ {∅} ↔ 𝑋 = ∅))
3130adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 = ∅) → (𝑋 ∈ {∅} ↔ 𝑋 = ∅))
3228, 31mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 = ∅) → 𝑋 = ∅)
3332eqcomd 2777 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 = ∅) → ∅ = 𝑋)
3433, 20eqeltrd 2850 . . . . 5 ((𝜑𝐼 = ∅) → ∅ ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
35 qndenserrnbl.e . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
3635rpxrd 12076 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ*)
3735rpgt0d 12078 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝐸)
3836, 37jca 501 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐸))
3938adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝐼 = ∅) → (𝐸 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐸))
40 xblcntr 22436 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ ∅ ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ (𝐸 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐸)) → ∅ ∈ (∅(ball‘𝐷)𝐸))
4118, 34, 39, 40syl3anc 1476 . . . 4 ((𝜑𝐼 = ∅) → ∅ ∈ (∅(ball‘𝐷)𝐸))
4233oveq1d 6808 . . . 4 ((𝜑𝐼 = ∅) → (∅(ball‘𝐷)𝐸) = (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
4341, 42eleqtrd 2852 . . 3 ((𝜑𝐼 = ∅) → ∅ ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
44 eleq1 2838 . . . 4 (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸) ↔ ∅ ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸)))
4544rspcev 3460 . . 3 ((∅ ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ ∅ ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸)) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
4611, 43, 45syl2anc 573 . 2 ((𝜑𝐼 = ∅) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
4712adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐼 ∈ Fin)
48 neqne 2951 . . . 4 𝐼 = ∅ → 𝐼 ≠ ∅)
4948adantl 467 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐼 ≠ ∅)
5019adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝑋 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
5135adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐸 ∈ ℝ+)
5247, 49, 50, 13, 51qndenserrnbllem 41031 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
5346, 52pm2.61dan 814 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∃wrex 3062  Vcvv 3351  ∅c0 4063  {csn 4316   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   ↑𝑚 cmap 8009  Fincfn 8109  ℝcr 10137  0cc0 10138  ℝ*cxr 10275   < clt 10276  ℚcq 11991  ℝ+crp 12035  distcds 16158  ∞Metcxmt 19946  Metcme 19947  ballcbl 19948  ℝ^crrx 23390 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xadd 12152  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-prds 16316  df-pws 16318  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-rnghom 18925  df-drng 18959  df-field 18960  df-subrg 18988  df-staf 19055  df-srng 19056  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-cnfld 19962  df-refld 20168  df-dsmm 20293  df-frlm 20308  df-nm 22607  df-tng 22609  df-tch 23188  df-rrx 23392 This theorem is referenced by:  qndenserrnopnlem  41034
 Copyright terms: Public domain W3C validator