Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qndenserrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qndenserrn 40837
Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
qndenserrn.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
qndenserrn.j 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
Assertion
Ref Expression
qndenserrn (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)) = (ℝ ↑𝑚 𝐼))

Proof of Theorem qndenserrn
Dummy variables 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qndenserrn.i . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
2 qndenserrn.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
32rrxtop 40827 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → 𝐽 ∈ Top)
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Top)
5 reex 10065 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
6 qssre 11836 . . . . . . 7 ℚ ⊆ ℝ
7 mapss 7942 . . . . . . 7 ((ℝ ∈ V ∧ ℚ ⊆ ℝ) → (ℚ ↑𝑚 𝐼) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
85, 6, 7mp2an 708 . . . . . 6 (ℚ ↑𝑚 𝐼) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝐼)
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℚ ↑𝑚 𝐼) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
10 eqid 2651 . . . . . . . 8 (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
11 eqid 2651 . . . . . . . 8 (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
121, 10, 11rrxbasefi 40821 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (ℝ ↑𝑚 𝐼))
1312eqcomd 2657 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ ↑𝑚 𝐼) = (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
14 rrxtps 40822 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ Fin → (ℝ^‘𝐼) ∈ TopSp)
15 eqid 2651 . . . . . . . 8 (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
1611, 15tpsuni 20788 . . . . . . 7 ((ℝ^‘𝐼) ∈ TopSp → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
171, 14, 163syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
182unieqi 4477 . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
1918eqcomi 2660 . . . . . . 7 (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = 𝐽
2019a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = 𝐽)
2113, 17, 203eqtrd 2689 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ ↑𝑚 𝐼) = 𝐽)
229, 21sseqtrd 3674 . . . 4 (𝜑 → (ℚ ↑𝑚 𝐼) ⊆ 𝐽)
23 eqid 2651 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
2423clsss3 20911 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ⊆ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)) ⊆ 𝐽)
254, 22, 24syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)) ⊆ 𝐽)
2621eqcomd 2657 . . 3 (𝜑 𝐽 = (ℝ ↑𝑚 𝐼))
2725, 26sseqtrd 3674 . 2 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
281ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → 𝐼 ∈ Fin)
29 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣𝐽𝑣𝐽)
3029, 2syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣𝐽𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
3130ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
32 ne0i 3954 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑣𝑣 ≠ ∅)
3332adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑣 ≠ ∅)
3428, 15, 31, 33qndenserrnopn 40836 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼)𝑦𝑣)
35 df-rex 2947 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼)𝑦𝑣 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦𝑣))
3634, 35sylib 208 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦𝑣))
37 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦𝑣) → 𝑦𝑣)
38 simpl 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦𝑣) → 𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼))
3937, 38elind 3831 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦𝑣) → 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)))
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → ((𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦𝑣) → 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼))))
4140eximdv 1886 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → (∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦𝑣) → ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼))))
4236, 41mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)))
43 n0 3964 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)))
4442, 43sylibr 224 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)) ≠ ∅)
4544ex 449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝐽) → (𝑥𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)) ≠ ∅))
4645adantlr 751 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑣𝐽) → (𝑥𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)) ≠ ∅))
4746ralrimiva 2995 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → ∀𝑣𝐽 (𝑥𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)) ≠ ∅))
484adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 𝐽 ∈ Top)
4922adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → (ℚ ↑𝑚 𝐼) ⊆ 𝐽)
50 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
5121adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → (ℝ ↑𝑚 𝐼) = 𝐽)
5250, 51eleqtrd 2732 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 𝑥 𝐽)
5323elcls 20925 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ⊆ 𝐽𝑥 𝐽) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)) ↔ ∀𝑣𝐽 (𝑥𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)) ≠ ∅)))
5448, 49, 52, 53syl3anc 1366 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)) ↔ ∀𝑣𝐽 (𝑥𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)) ≠ ∅)))
5547, 54mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)))
5655ralrimiva 2995 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)))
57 dfss3 3625 . . 3 ((ℝ ↑𝑚 𝐼) ⊆ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)) ↔ ∀𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)))
5856, 57sylibr 224 . 2 (𝜑 → (ℝ ↑𝑚 𝐼) ⊆ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)))
5927, 58eqssd 3653 1 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)) = (ℝ ↑𝑚 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  cin 3606  wss 3607  c0 3948   cuni 4468  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  cr 9973  cq 11826  Basecbs 15904  TopOpenctopn 16129  Topctop 20746  TopSpctps 20784  clsccl 20870  ℝ^crrx 23217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-rnghom 18763  df-drng 18797  df-field 18798  df-subrg 18826  df-abv 18865  df-staf 18893  df-srng 18894  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lmhm 19070  df-lvec 19151  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-refld 19999  df-phl 20019  df-dsmm 20124  df-frlm 20139  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-xms 22172  df-ms 22173  df-nm 22434  df-ngp 22435  df-tng 22436  df-nrg 22437  df-nlm 22438  df-clm 22909  df-cph 23014  df-tch 23015  df-rrx 23219
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator