Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qextle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qextle 12073
 Description: An extensionality-like property for extended real ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
qextle ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℚ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem qextle
StepHypRef Expression
1 breq2 4689 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
21ralrimivw 2996 . 2 (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℚ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
3 xrlttri2 12013 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
4 qextltlem 12071 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))))
5 simpr 476 . . . . . . . 8 ((¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵)) → ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
65reximi 3040 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵) ∧ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
74, 6syl6 35 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
8 qextltlem 12071 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐵𝑥 < 𝐴) ∧ ¬ (𝑥𝐵𝑥𝐴))))
9 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((¬ (𝑥 < 𝐵𝑥 < 𝐴) ∧ ¬ (𝑥𝐵𝑥𝐴)) → ¬ (𝑥𝐵𝑥𝐴))
10 bicom 212 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝑥𝐴) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
119, 10sylnib 317 . . . . . . . . 9 ((¬ (𝑥 < 𝐵𝑥 < 𝐴) ∧ ¬ (𝑥𝐵𝑥𝐴)) → ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
1211reximi 3040 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ ℚ (¬ (𝑥 < 𝐵𝑥 < 𝐴) ∧ ¬ (𝑥𝐵𝑥𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
138, 12syl6 35 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
1413ancoms 468 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
157, 14jaod 394 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
163, 15sylbid 230 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
17 rexnal 3024 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℚ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℚ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
1816, 17syl6ib 241 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℚ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
1918necon4ad 2842 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℚ (𝑥𝐴𝑥𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
202, 19impbid2 216 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℚ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   class class class wbr 4685  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113  ℚcq 11826 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator