MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qexpz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qexpz 15807
Description: If a power of a rational number is an integer, then the number is an integer. In other words, all n-th roots are irrational unless they are integers (so that the original number is an n-th power). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
qexpz ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem qexpz
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2827 . 2 (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℤ ↔ 0 ∈ ℤ))
2 simpll2 1257 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
32nncnd 11228 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℂ)
43mul01d 10427 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 · 0) = 0)
5 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
6 simpll3 1259 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
7 simpll1 1255 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℚ)
8 qcn 11995 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℂ)
10 simplr 809 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ≠ 0)
112nnzd 11673 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
129, 10, 11expne0d 13208 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴𝑁) ≠ 0)
13 pczcl 15755 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((𝐴𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑁) ≠ 0)) → (𝑝 pCnt (𝐴𝑁)) ∈ ℕ0)
145, 6, 12, 13syl12anc 1475 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝐴𝑁)) ∈ ℕ0)
1514nn0ge0d 11546 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝐴𝑁)))
16 pcexp 15766 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑝 pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴)))
175, 7, 10, 11, 16syl121anc 1482 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴)))
1815, 17breqtrd 4830 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴)))
194, 18eqbrtrd 4826 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 · 0) ≤ (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴)))
20 0red 10233 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ∈ ℝ)
21 pcqcl 15763 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
225, 7, 10, 21syl12anc 1475 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
2322zred 11674 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ)
242nnred 11227 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
252nngt0d 11256 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 < 𝑁)
26 lemul2 11068 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑁 · 0) ≤ (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴))))
2720, 23, 24, 25, 26syl112anc 1481 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑁 · 0) ≤ (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴))))
2819, 27mpbird 247 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
2928ralrimiva 3104 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
30 simpl1 1228 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℚ)
31 pcz 15787 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
3230, 31syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
3329, 32mpbird 247 . 2 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
34 0zd 11581 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
351, 33, 34pm2.61ne 3017 1 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128   · cmul 10133   < clt 10266  cle 10267  cn 11212  0cn0 11484  cz 11569  cq 11981  cexp 13054  cprime 15587   pCnt cpc 15743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-dvds 15183  df-gcd 15419  df-prm 15588  df-pc 15744
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator