Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qden1elz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qden1elz 15672
 Description: A rational is an integer iff it has denominator 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
qden1elz (𝐴 ∈ ℚ → ((denom‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))

Proof of Theorem qden1elz
StepHypRef Expression
1 qeqnumdivden 15661 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 = ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)))
21adantr 466 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → 𝐴 = ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)))
3 oveq2 6804 . . . . 5 ((denom‘𝐴) = 1 → ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)) = ((numer‘𝐴) / 1))
43adantl 467 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)) = ((numer‘𝐴) / 1))
5 qnumcl 15655 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → (numer‘𝐴) ∈ ℤ)
65adantr 466 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → (numer‘𝐴) ∈ ℤ)
76zcnd 11690 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → (numer‘𝐴) ∈ ℂ)
87div1d 10999 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → ((numer‘𝐴) / 1) = (numer‘𝐴))
92, 4, 83eqtrd 2809 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → 𝐴 = (numer‘𝐴))
109, 6eqeltrd 2850 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
11 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
1211zcnd 11690 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1312div1d 10999 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 / 1) = 𝐴)
1413fveq2d 6337 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (denom‘(𝐴 / 1)) = (denom‘𝐴))
15 1nn 11237 . . . . 5 1 ∈ ℕ
16 divdenle 15664 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / 1)) ≤ 1)
1711, 15, 16sylancl 574 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (denom‘(𝐴 / 1)) ≤ 1)
1814, 17eqbrtrrd 4811 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (denom‘𝐴) ≤ 1)
19 qdencl 15656 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → (denom‘𝐴) ∈ ℕ)
2019adantr 466 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (denom‘𝐴) ∈ ℕ)
21 nnle1eq1 11254 . . . 4 ((denom‘𝐴) ∈ ℕ → ((denom‘𝐴) ≤ 1 ↔ (denom‘𝐴) = 1))
2220, 21syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((denom‘𝐴) ≤ 1 ↔ (denom‘𝐴) = 1))
2318, 22mpbid 222 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (denom‘𝐴) = 1)
2410, 23impbida 802 1 (𝐴 ∈ ℚ → ((denom‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4787  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  1c1 10143   ≤ cle 10281   / cdiv 10890  ℕcn 11226  ℤcz 11584  ℚcq 11996  numercnumer 15648  denomcdenom 15649 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8508  df-inf 8509  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-numer 15650  df-denom 15651 This theorem is referenced by:  zsqrtelqelz  15673
 Copyright terms: Public domain W3C validator