MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qbtwnre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qbtwnre 12219
Description: The rational numbers are dense in : any two real numbers have a rational between them. Exercise 6 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
qbtwnre ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem qbtwnre
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 posdif 10709 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
2 resubcl 10533 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
3 nnrecl 11478 . . . . . . 7 (((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴))
42, 3sylan 489 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 0 < (𝐵𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴))
54ex 449 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < (𝐵𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴)))
65ancoms 468 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐵𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴)))
71, 6sylbid 230 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴)))
8 nnre 11215 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
98adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
10 simplr 809 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
119, 10remulcld 10258 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 · 𝐵) ∈ ℝ)
12 peano2rem 10536 . . . . . . 7 ((𝑦 · 𝐵) ∈ ℝ → ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∈ ℝ)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∈ ℝ)
14 zbtwnre 11975 . . . . . 6 (((𝑦 · 𝐵) − 1) ∈ ℝ → ∃!𝑧 ∈ ℤ (((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)))
15 reurex 3295 . . . . . 6 (∃!𝑧 ∈ ℤ (((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) → ∃𝑧 ∈ ℤ (((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)))
1613, 14, 153syl 18 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ∃𝑧 ∈ ℤ (((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)))
17 znq 11981 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 / 𝑦) ∈ ℚ)
1817ancoms 468 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 / 𝑦) ∈ ℚ)
1918adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑧 / 𝑦) ∈ ℚ)
20 an32 874 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) ∧ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴)) ↔ ((((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧 ∧ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴)) ∧ 𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)))
218ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
22 simpll 807 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2321, 22remulcld 10258 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦 · 𝐴) ∈ ℝ)
2413adantrr 755 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∈ ℝ)
25 zre 11569 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
2625ad2antll 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
27 ltletr 10317 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝑦 · 𝐴) < ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∧ ((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧) → (𝑦 · 𝐴) < 𝑧))
2823, 24, 26, 27syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (((𝑦 · 𝐴) < ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∧ ((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧) → (𝑦 · 𝐴) < 𝑧))
2921recnd 10256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
30 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3130recnd 10256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
3222recnd 10256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3329, 31, 32subdid 10674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦 · (𝐵𝐴)) = ((𝑦 · 𝐵) − (𝑦 · 𝐴)))
3433breq2d 4812 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (1 < (𝑦 · (𝐵𝐴)) ↔ 1 < ((𝑦 · 𝐵) − (𝑦 · 𝐴))))
35 1red 10243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 1 ∈ ℝ)
3630, 22resubcld 10646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
37 nngt0 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℕ → 0 < 𝑦)
3837ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → 0 < 𝑦)
39 ltdivmul 11086 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦)) → ((1 / 𝑦) < (𝐵𝐴) ↔ 1 < (𝑦 · (𝐵𝐴))))
4035, 36, 21, 38, 39syl112anc 1481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((1 / 𝑦) < (𝐵𝐴) ↔ 1 < (𝑦 · (𝐵𝐴))))
4111adantrr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦 · 𝐵) ∈ ℝ)
42 ltsub13 10697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑦 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑦 · 𝐴) < ((𝑦 · 𝐵) − 1) ↔ 1 < ((𝑦 · 𝐵) − (𝑦 · 𝐴))))
4323, 41, 35, 42syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐴) < ((𝑦 · 𝐵) − 1) ↔ 1 < ((𝑦 · 𝐵) − (𝑦 · 𝐴))))
4434, 40, 433bitr4rd 301 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐴) < ((𝑦 · 𝐵) − 1) ↔ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴)))
4544anbi1d 743 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (((𝑦 · 𝐴) < ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∧ ((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧) ↔ ((1 / 𝑦) < (𝐵𝐴) ∧ ((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧)))
46 ancom 465 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 𝑦) < (𝐵𝐴) ∧ ((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧) ↔ (((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧 ∧ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴)))
4745, 46syl6bb 276 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (((𝑦 · 𝐴) < ((𝑦 · 𝐵) − 1) ∧ ((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧) ↔ (((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧 ∧ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴))))
48 ltmuldiv2 11085 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦)) → ((𝑦 · 𝐴) < 𝑧𝐴 < (𝑧 / 𝑦)))
4922, 26, 21, 38, 48syl112anc 1481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐴) < 𝑧𝐴 < (𝑧 / 𝑦)))
5028, 47, 493imtr3d 282 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧 ∧ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴)) → 𝐴 < (𝑧 / 𝑦)))
5141recnd 10256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ)
52 ax-1cn 10182 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
53 npcan 10478 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1) = (𝑦 · 𝐵))
5451, 52, 53sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1) = (𝑦 · 𝐵))
5554breq2d 4812 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1) ↔ 𝑧 < (𝑦 · 𝐵)))
56 ltdivmul 11086 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦)) → ((𝑧 / 𝑦) < 𝐵𝑧 < (𝑦 · 𝐵)))
5726, 30, 21, 38, 56syl112anc 1481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑧 / 𝑦) < 𝐵𝑧 < (𝑦 · 𝐵)))
5855, 57bitr4d 271 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1) ↔ (𝑧 / 𝑦) < 𝐵))
5958biimpd 219 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1) → (𝑧 / 𝑦) < 𝐵))
6050, 59anim12d 587 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (((((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧 ∧ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴)) ∧ 𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) → (𝐴 < (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑧 / 𝑦) < 𝐵)))
6120, 60syl5bi 232 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (((((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) ∧ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴)) → (𝐴 < (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑧 / 𝑦) < 𝐵)))
62 breq2 4804 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑧 / 𝑦) → (𝐴 < 𝑥𝐴 < (𝑧 / 𝑦)))
63 breq1 4803 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑧 / 𝑦) → (𝑥 < 𝐵 ↔ (𝑧 / 𝑦) < 𝐵))
6462, 63anbi12d 749 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑧 / 𝑦) → ((𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑧 / 𝑦) < 𝐵)))
6564rspcev 3445 . . . . . . . . 9 (((𝑧 / 𝑦) ∈ ℚ ∧ (𝐴 < (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑧 / 𝑦) < 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
6619, 61, 65syl6an 569 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (((((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) ∧ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
6766expd 451 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) → ((1 / 𝑦) < (𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))))
6867expr 644 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ ℤ → ((((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) → ((1 / 𝑦) < (𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))))
6968rexlimdv 3164 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∃𝑧 ∈ ℤ (((𝑦 · 𝐵) − 1) ≤ 𝑧𝑧 < (((𝑦 · 𝐵) − 1) + 1)) → ((1 / 𝑦) < (𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))))
7016, 69mpd 15 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑦) < (𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
7170rexlimdva 3165 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < (𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
727, 71syld 47 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
73723impia 1110 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1628  wcel 2135  wrex 3047  ∃!wreu 3048   class class class wbr 4800  (class class class)co 6809  cc 10122  cr 10123  0cc0 10124  1c1 10125   + caddc 10127   · cmul 10129   < clt 10262  cle 10263  cmin 10454   / cdiv 10872  cn 11208  cz 11565  cq 11977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-sup 8509  df-inf 8510  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-n0 11481  df-z 11566  df-uz 11876  df-q 11978
This theorem is referenced by:  qbtwnxr  12220  qsqueeze  12221  nmoleub2lem3  23111  mbfaddlem  23622  rpnnen3lem  38096
  Copyright terms: Public domain W3C validator