MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qabvexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qabvexp 25360
Description: Induct the product rule abvmul 18877 to find the absolute value of a power. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
Assertion
Ref Expression
qabvexp ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀𝑁)) = ((𝐹𝑀)↑𝑁))

Proof of Theorem qabvexp
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝑀𝑘) = (𝑀↑0))
21fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = (𝐹‘(𝑀↑0)))
3 oveq2 6698 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → ((𝐹𝑀)↑𝑘) = ((𝐹𝑀)↑0))
42, 3eqeq12d 2666 . . . . 5 (𝑘 = 0 → ((𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀↑0)) = ((𝐹𝑀)↑0)))
54imbi2d 329 . . . 4 (𝑘 = 0 → (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑0)) = ((𝐹𝑀)↑0))))
6 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (𝑀𝑘) = (𝑀𝑛))
76fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = (𝐹‘(𝑀𝑛)))
8 oveq2 6698 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑀)↑𝑘) = ((𝐹𝑀)↑𝑛))
97, 8eqeq12d 2666 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀𝑛)) = ((𝐹𝑀)↑𝑛)))
109imbi2d 329 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑛)) = ((𝐹𝑀)↑𝑛))))
11 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑀𝑘) = (𝑀↑(𝑛 + 1)))
1211fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))))
13 oveq2 6698 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑀)↑𝑘) = ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1)))
1412, 13eqeq12d 2666 . . . . 5 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1))))
1514imbi2d 329 . . . 4 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1)))))
16 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → (𝑀𝑘) = (𝑀𝑁))
1716fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = (𝐹‘(𝑀𝑁)))
18 oveq2 6698 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹𝑀)↑𝑘) = ((𝐹𝑀)↑𝑁))
1917, 18eqeq12d 2666 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑀𝑁)) = ((𝐹𝑀)↑𝑁)))
2019imbi2d 329 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑘)) = ((𝐹𝑀)↑𝑘)) ↔ ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑁)) = ((𝐹𝑀)↑𝑁))))
21 ax-1ne0 10043 . . . . . . 7 1 ≠ 0
22 qabsabv.a . . . . . . . 8 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
23 qrng.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (ℂflds ℚ)
2423qrng1 25356 . . . . . . . 8 1 = (1r𝑄)
2523qrng0 25355 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑄)
2622, 24, 25abv1z 18880 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
2721, 26mpan2 707 . . . . . 6 (𝐹𝐴 → (𝐹‘1) = 1)
2827adantr 480 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘1) = 1)
29 qcn 11840 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℂ)
3029adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → 𝑀 ∈ ℂ)
3130exp0d 13042 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝑀↑0) = 1)
3231fveq2d 6233 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑0)) = (𝐹‘1))
3323qrngbas 25353 . . . . . . . 8 ℚ = (Base‘𝑄)
3422, 33abvcl 18872 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
3534recnd 10106 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹𝑀) ∈ ℂ)
3635exp0d 13042 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → ((𝐹𝑀)↑0) = 1)
3728, 32, 363eqtr4d 2695 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑0)) = ((𝐹𝑀)↑0))
38 oveq1 6697 . . . . . . 7 ((𝐹‘(𝑀𝑛)) = ((𝐹𝑀)↑𝑛) → ((𝐹‘(𝑀𝑛)) · (𝐹𝑀)) = (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹𝑀)))
39 expp1 12907 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑛 + 1)) = ((𝑀𝑛) · 𝑀))
4030, 39sylan 487 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑛 + 1)) = ((𝑀𝑛) · 𝑀))
4140fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = (𝐹‘((𝑀𝑛) · 𝑀)))
42 simpll 805 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐹𝐴)
43 qexpcl 12916 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑛) ∈ ℚ)
4443adantll 750 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑛) ∈ ℚ)
45 simplr 807 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℚ)
46 qex 11838 . . . . . . . . . . . 12 ℚ ∈ V
47 cnfldmul 19800 . . . . . . . . . . . . 13 · = (.r‘ℂfld)
4823, 47ressmulr 16053 . . . . . . . . . . . 12 (ℚ ∈ V → · = (.r𝑄))
4946, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 · = (.r𝑄)
5022, 33, 49abvmul 18877 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑀𝑛) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑀𝑛) · 𝑀)) = ((𝐹‘(𝑀𝑛)) · (𝐹𝑀)))
5142, 44, 45, 50syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑀𝑛) · 𝑀)) = ((𝐹‘(𝑀𝑛)) · (𝐹𝑀)))
5241, 51eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹‘(𝑀𝑛)) · (𝐹𝑀)))
53 expp1 12907 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1)) = (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹𝑀)))
5435, 53sylan 487 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1)) = (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹𝑀)))
5552, 54eqeq12d 2666 . . . . . . 7 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1)) ↔ ((𝐹‘(𝑀𝑛)) · (𝐹𝑀)) = (((𝐹𝑀)↑𝑛) · (𝐹𝑀))))
5638, 55syl5ibr 236 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑀𝑛)) = ((𝐹𝑀)↑𝑛) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1))))
5756expcom 450 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → ((𝐹‘(𝑀𝑛)) = ((𝐹𝑀)↑𝑛) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1)))))
5857a2d 29 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑛)) = ((𝐹𝑀)↑𝑛)) → ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀↑(𝑛 + 1))) = ((𝐹𝑀)↑(𝑛 + 1)))))
595, 10, 15, 20, 37, 58nn0ind 11510 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑀𝑁)) = ((𝐹𝑀)↑𝑁)))
6059com12 32 . 2 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹‘(𝑀𝑁)) = ((𝐹𝑀)↑𝑁)))
61603impia 1280 1 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑀𝑁)) = ((𝐹𝑀)↑𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  0cn0 11330  cq 11826  cexp 12900  s cress 15905  .rcmulr 15989  AbsValcabv 18864  fldccnfld 19794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-ico 12219  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-subg 17638  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-abv 18865  df-cnfld 19795
This theorem is referenced by:  ostth2lem2  25368  ostth2lem3  25369  ostth3  25372
  Copyright terms: Public domain W3C validator