MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qaa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qaa 24123
Description: Every rational number is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
qaa (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ 𝔸)

Proof of Theorem qaa
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qcn 11840 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 qsscn 11837 . . . . . . 7 ℚ ⊆ ℂ
3 1z 11445 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
4 zq 11832 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . 7 1 ∈ ℚ
6 plyid 24010 . . . . . . 7 ((ℚ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℚ) → Xp ∈ (Poly‘ℚ))
72, 5, 6mp2an 708 . . . . . 6 Xp ∈ (Poly‘ℚ)
87a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → Xp ∈ (Poly‘ℚ))
9 plyconst 24007 . . . . . 6 ((ℚ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℚ))
102, 9mpan 706 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℚ))
11 qaddcl 11842 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℚ)
1211adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℚ)
13 qmulcl 11844 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℚ)
1413adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℚ)
15 qnegcl 11843 . . . . . . 7 (1 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
165, 15ax-mp 5 . . . . . 6 -1 ∈ ℚ
1716a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
188, 10, 12, 14, 17plysub 24020 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℚ))
19 peano2cn 10246 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
201, 19syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
21 fnresi 6046 . . . . . . . . . . 11 ( I ↾ ℂ) Fn ℂ
22 df-idp 23990 . . . . . . . . . . . 12 Xp = ( I ↾ ℂ)
2322fneq1i 6023 . . . . . . . . . . 11 (Xp Fn ℂ ↔ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ)
2421, 23mpbir 221 . . . . . . . . . 10 Xp Fn ℂ
2524a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℚ → Xp Fn ℂ)
26 fnconstg 6131 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℚ → (ℂ × {𝐴}) Fn ℂ)
27 cnex 10055 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ V
2827a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℚ → ℂ ∈ V)
29 inidm 3855 . . . . . . . . 9 (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
3022fveq1i 6230 . . . . . . . . . . 11 (Xp‘(𝐴 + 1)) = (( I ↾ ℂ)‘(𝐴 + 1))
31 fvresi 6480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 + 1) ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
3230, 31syl5eq 2697 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 1) ∈ ℂ → (Xp‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
3332adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℂ) → (Xp‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
34 fvconst2g 6508 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘(𝐴 + 1)) = 𝐴)
3525, 26, 28, 28, 29, 33, 34ofval 6948 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℂ) → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) = ((𝐴 + 1) − 𝐴))
3620, 35mpdan 703 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) = ((𝐴 + 1) − 𝐴))
37 ax-1cn 10032 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
38 pncan2 10326 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 𝐴) = 1)
391, 37, 38sylancl 695 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → ((𝐴 + 1) − 𝐴) = 1)
4036, 39eqtrd 2685 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) = 1)
41 ax-1ne0 10043 . . . . . . 7 1 ≠ 0
4241a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ → 1 ≠ 0)
4340, 42eqnetrd 2890 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) ≠ 0)
44 ne0p 24008 . . . . 5 (((𝐴 + 1) ∈ ℂ ∧ ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) ≠ 0) → (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝)
4520, 43, 44syl2anc 694 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝)
46 eldifsn 4350 . . . 4 ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ↔ ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝))
4718, 45, 46sylanbrc 699 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
4822fveq1i 6230 . . . . . . . 8 (Xp𝐴) = (( I ↾ ℂ)‘𝐴)
49 fvresi 6480 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝐴) = 𝐴)
5048, 49syl5eq 2697 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (Xp𝐴) = 𝐴)
5150adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (Xp𝐴) = 𝐴)
52 fvconst2g 6508 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘𝐴) = 𝐴)
5325, 26, 28, 28, 29, 51, 52ofval 6948 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = (𝐴𝐴))
541, 53mpdan 703 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = (𝐴𝐴))
551subidd 10418 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴𝐴) = 0)
5654, 55eqtrd 2685 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = 0)
57 fveq1 6228 . . . . 5 (𝑓 = (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴})) → (𝑓𝐴) = ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴))
5857eqeq1d 2653 . . . 4 (𝑓 = (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴})) → ((𝑓𝐴) = 0 ↔ ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = 0))
5958rspcev 3340 . . 3 (((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = 0) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0)
6047, 56, 59syl2anc 694 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0)
61 elqaa 24122 . 2 (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0))
621, 60, 61sylanbrc 699 1 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ 𝔸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  {csn 4210   I cid 5052   × cxp 5141  cres 5145   Fn wfn 5921  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cmin 10304  -cneg 10305  cz 11415  cq 11826  0𝑝c0p 23481  Polycply 23985  Xpcidp 23986  𝔸caa 24114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-0p 23482  df-ply 23989  df-idp 23990  df-coe 23991  df-dgr 23992  df-aa 24115
This theorem is referenced by:  qssaa  24124
  Copyright terms: Public domain W3C validator