MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwxpndom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwxpndom2 9525
Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into its Cartesian product with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwxpndom2 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)))

Proof of Theorem pwxpndom2
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwfseq 9524 . 2 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛))
2 reldom 8003 . . . . . . 7 Rel ≼
32brrelex2i 5193 . . . . . 6 (ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ V)
4 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑚 1𝑜) = (𝐴𝑚 1𝑜))
5 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
64, 5breq12d 4698 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝑚 1𝑜) ≈ 𝑥 ↔ (𝐴𝑚 1𝑜) ≈ 𝐴))
7 df1o2 7617 . . . . . . . . 9 1𝑜 = {∅}
87oveq2i 6701 . . . . . . . 8 (𝑥𝑚 1𝑜) = (𝑥𝑚 {∅})
9 vex 3234 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
10 0ex 4823 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
119, 10mapsnen 8076 . . . . . . . 8 (𝑥𝑚 {∅}) ≈ 𝑥
128, 11eqbrtri 4706 . . . . . . 7 (𝑥𝑚 1𝑜) ≈ 𝑥
136, 12vtoclg 3297 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (𝐴𝑚 1𝑜) ≈ 𝐴)
14 ensym 8046 . . . . . 6 ((𝐴𝑚 1𝑜) ≈ 𝐴𝐴 ≈ (𝐴𝑚 1𝑜))
153, 13, 143syl 18 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴𝐴 ≈ (𝐴𝑚 1𝑜))
16 map2xp 8171 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (𝐴𝑚 2𝑜) ≈ (𝐴 × 𝐴))
17 ensym 8046 . . . . . 6 ((𝐴𝑚 2𝑜) ≈ (𝐴 × 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ (𝐴𝑚 2𝑜))
183, 16, 173syl 18 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐴) ≈ (𝐴𝑚 2𝑜))
19 elmapi 7921 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 1𝑜) → 𝑥:1𝑜𝐴)
20 fdm 6089 . . . . . . . . . . 11 (𝑥:1𝑜𝐴 → dom 𝑥 = 1𝑜)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 1𝑜) → dom 𝑥 = 1𝑜)
2221adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝐴𝑚 1𝑜) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝑚 2𝑜)) → dom 𝑥 = 1𝑜)
23 1onn 7764 . . . . . . . . . . . . . 14 1𝑜 ∈ ω
2423elexi 3244 . . . . . . . . . . . . 13 1𝑜 ∈ V
2524sucid 5842 . . . . . . . . . . . 12 1𝑜 ∈ suc 1𝑜
26 df-2o 7606 . . . . . . . . . . . 12 2𝑜 = suc 1𝑜
2725, 26eleqtrri 2729 . . . . . . . . . . 11 1𝑜 ∈ 2𝑜
28 1on 7612 . . . . . . . . . . . 12 1𝑜 ∈ On
2928onirri 5872 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1𝑜 ∈ 1𝑜
30 nelneq2 2755 . . . . . . . . . . 11 ((1𝑜 ∈ 2𝑜 ∧ ¬ 1𝑜 ∈ 1𝑜) → ¬ 2𝑜 = 1𝑜)
3127, 29, 30mp2an 708 . . . . . . . . . 10 ¬ 2𝑜 = 1𝑜
32 elmapi 7921 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 2𝑜) → 𝑥:2𝑜𝐴)
33 fdm 6089 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥:2𝑜𝐴 → dom 𝑥 = 2𝑜)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 2𝑜) → dom 𝑥 = 2𝑜)
3534adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝐴𝑚 1𝑜) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝑚 2𝑜)) → dom 𝑥 = 2𝑜)
3635eqeq1d 2653 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝐴𝑚 1𝑜) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝑚 2𝑜)) → (dom 𝑥 = 1𝑜 ↔ 2𝑜 = 1𝑜))
3731, 36mtbiri 316 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝐴𝑚 1𝑜) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝑚 2𝑜)) → ¬ dom 𝑥 = 1𝑜)
3822, 37pm2.65i 185 . . . . . . . 8 ¬ (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 1𝑜) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝑚 2𝑜))
39 elin 3829 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((𝐴𝑚 1𝑜) ∩ (𝐴𝑚 2𝑜)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 1𝑜) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝑚 2𝑜)))
4038, 39mtbir 312 . . . . . . 7 ¬ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑚 1𝑜) ∩ (𝐴𝑚 2𝑜))
4140a1i 11 . . . . . 6 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑚 1𝑜) ∩ (𝐴𝑚 2𝑜)))
4241eq0rdv 4012 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴 → ((𝐴𝑚 1𝑜) ∩ (𝐴𝑚 2𝑜)) = ∅)
43 cdaenun 9034 . . . . 5 ((𝐴 ≈ (𝐴𝑚 1𝑜) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≈ (𝐴𝑚 2𝑜) ∧ ((𝐴𝑚 1𝑜) ∩ (𝐴𝑚 2𝑜)) = ∅) → (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)) ≈ ((𝐴𝑚 1𝑜) ∪ (𝐴𝑚 2𝑜)))
4415, 18, 42, 43syl3anc 1366 . . . 4 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)) ≈ ((𝐴𝑚 1𝑜) ∪ (𝐴𝑚 2𝑜)))
45 omex 8578 . . . . . 6 ω ∈ V
46 ovex 6718 . . . . . 6 (𝐴𝑚 𝑛) ∈ V
4745, 46iunex 7189 . . . . 5 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛) ∈ V
48 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1𝑜 → (𝐴𝑚 𝑛) = (𝐴𝑚 1𝑜))
4948ssiun2s 4596 . . . . . . 7 (1𝑜 ∈ ω → (𝐴𝑚 1𝑜) ⊆ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛))
5023, 49ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐴𝑚 1𝑜) ⊆ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛)
51 2onn 7765 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ ω
52 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑛 = 2𝑜 → (𝐴𝑚 𝑛) = (𝐴𝑚 2𝑜))
5352ssiun2s 4596 . . . . . . 7 (2𝑜 ∈ ω → (𝐴𝑚 2𝑜) ⊆ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛))
5451, 53ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐴𝑚 2𝑜) ⊆ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛)
5550, 54unssi 3821 . . . . 5 ((𝐴𝑚 1𝑜) ∪ (𝐴𝑚 2𝑜)) ⊆ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛)
56 ssdomg 8043 . . . . 5 ( 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛) ∈ V → (((𝐴𝑚 1𝑜) ∪ (𝐴𝑚 2𝑜)) ⊆ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛) → ((𝐴𝑚 1𝑜) ∪ (𝐴𝑚 2𝑜)) ≼ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛)))
5747, 55, 56mp2 9 . . . 4 ((𝐴𝑚 1𝑜) ∪ (𝐴𝑚 2𝑜)) ≼ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛)
58 endomtr 8055 . . . 4 (((𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)) ≈ ((𝐴𝑚 1𝑜) ∪ (𝐴𝑚 2𝑜)) ∧ ((𝐴𝑚 1𝑜) ∪ (𝐴𝑚 2𝑜)) ≼ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛)) → (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)) ≼ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛))
5944, 57, 58sylancl 695 . . 3 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)) ≼ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛))
60 domtr 8050 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)) ∧ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)) ≼ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛)) → 𝒫 𝐴 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛))
6160expcom 450 . . 3 ((𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)) ≼ 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛) → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)) → 𝒫 𝐴 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛)))
6259, 61syl 17 . 2 (ω ≼ 𝐴 → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)) → 𝒫 𝐴 𝑛 ∈ ω (𝐴𝑚 𝑛)))
631, 62mtod 189 1 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210   ciun 4552   class class class wbr 4685   × cxp 5141  dom cdm 5143  suc csuc 5763  wf 5922  (class class class)co 6690  ωcom 7107  1𝑜c1o 7598  2𝑜c2o 7599  𝑚 cmap 7899  cen 7994  cdom 7995   +𝑐 ccda 9027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-seqom 7588  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-oexp 7611  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-har 8504  df-cnf 8597  df-card 8803  df-cda 9028
This theorem is referenced by:  pwxpndom  9526  pwcdandom  9527
  Copyright terms: Public domain W3C validator