Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwxpndom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwxpndom 9680
 Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into its Cartesian product with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwxpndom (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))

Proof of Theorem pwxpndom
StepHypRef Expression
1 pwxpndom2 9679 . 2 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)))
2 reldom 8127 . . . . . . 7 Rel ≼
32brrelex2i 5316 . . . . . 6 (ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ V)
4 xpexg 7125 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
53, 3, 4syl2anc 696 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
6 cdadom3 9202 . . . . 5 (((𝐴 × 𝐴) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 × 𝐴) ≼ ((𝐴 × 𝐴) +𝑐 𝐴))
75, 3, 6syl2anc 696 . . . 4 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐴) ≼ ((𝐴 × 𝐴) +𝑐 𝐴))
8 cdacomen 9195 . . . 4 ((𝐴 × 𝐴) +𝑐 𝐴) ≈ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴))
9 domentr 8180 . . . 4 (((𝐴 × 𝐴) ≼ ((𝐴 × 𝐴) +𝑐 𝐴) ∧ ((𝐴 × 𝐴) +𝑐 𝐴) ≈ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴))) → (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)))
107, 8, 9sylancl 697 . . 3 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)))
11 domtr 8174 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴))) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)))
1211expcom 450 . . 3 ((𝐴 × 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)) → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴))))
1310, 12syl 17 . 2 (ω ≼ 𝐴 → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴))))
141, 13mtod 189 1 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340  𝒫 cpw 4302   class class class wbr 4804   × cxp 5264  (class class class)co 6813  ωcom 7230   ≈ cen 8118   ≼ cdom 8119   +𝑐 ccda 9181 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-seqom 7712  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-oexp 7735  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-oi 8580  df-har 8628  df-cnf 8732  df-card 8955  df-cda 9182 This theorem is referenced by:  gchxpidm  9683
 Copyright terms: Public domain W3C validator