MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwssub 17737
Description: Subtraction in a group power. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsgrp.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsinvg.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssub.m 𝑀 = (-g𝑅)
pwssub.n = (-g𝑌)
Assertion
Ref Expression
pwssub (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹 𝐺) = (𝐹𝑓 𝑀𝐺))

Proof of Theorem pwssub
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 752 . . . 4 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐼𝑉)
2 pwsgrp.y . . . . . 6 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
3 eqid 2771 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 pwsinvg.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑌)
5 simpll 750 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝑅 ∈ Grp)
6 simprl 754 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐹𝐵)
72, 3, 4, 5, 1, 6pwselbas 16357 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝑅))
87ffvelrnda 6504 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
9 fvexd 6346 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((invg𝑅)‘(𝐺𝑥)) ∈ V)
107feqmptd 6393 . . . 4 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
11 simprr 756 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐺𝐵)
12 eqid 2771 . . . . . . 7 (invg𝑅) = (invg𝑅)
13 eqid 2771 . . . . . . 7 (invg𝑌) = (invg𝑌)
142, 4, 12, 13pwsinvg 17736 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐺𝐵) → ((invg𝑌)‘𝐺) = ((invg𝑅) ∘ 𝐺))
155, 1, 11, 14syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → ((invg𝑌)‘𝐺) = ((invg𝑅) ∘ 𝐺))
162, 3, 4, 5, 1, 11pwselbas 16357 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑅))
1716ffvelrnda 6504 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
1816feqmptd 6393 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝐺 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐺𝑥)))
193, 12grpinvf 17674 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Grp → (invg𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
2019ad2antrr 705 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (invg𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
2120feqmptd 6393 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (invg𝑅) = (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ ((invg𝑅)‘𝑦)))
22 fveq2 6333 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐺𝑥) → ((invg𝑅)‘𝑦) = ((invg𝑅)‘(𝐺𝑥)))
2317, 18, 21, 22fmptco 6542 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → ((invg𝑅) ∘ 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((invg𝑅)‘(𝐺𝑥))))
2415, 23eqtrd 2805 . . . 4 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → ((invg𝑌)‘𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((invg𝑅)‘(𝐺𝑥))))
251, 8, 9, 10, 24offval2 7065 . . 3 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹𝑓 (+g𝑅)((invg𝑌)‘𝐺)) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑥)))))
262pwsgrp 17735 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 ∈ Grp)
2726adantr 466 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → 𝑌 ∈ Grp)
284, 13grpinvcl 17675 . . . . 5 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐺𝐵) → ((invg𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
2927, 11, 28syl2anc 573 . . . 4 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → ((invg𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
30 eqid 2771 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
31 eqid 2771 . . . 4 (+g𝑌) = (+g𝑌)
322, 4, 5, 1, 6, 29, 30, 31pwsplusgval 16358 . . 3 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺)) = (𝐹𝑓 (+g𝑅)((invg𝑌)‘𝐺)))
33 pwssub.m . . . . . 6 𝑀 = (-g𝑅)
343, 30, 12, 33grpsubval 17673 . . . . 5 (((𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹𝑥)𝑀(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑥))))
358, 17, 34syl2anc 573 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥)𝑀(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑥))))
3635mpteq2dva 4879 . . 3 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝑀(𝐺𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑥)))))
3725, 32, 363eqtr4d 2815 . 2 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺)) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝑀(𝐺𝑥))))
38 pwssub.n . . . 4 = (-g𝑌)
394, 31, 13, 38grpsubval 17673 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺)))
4039adantl 467 . 2 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺)))
411, 8, 17, 10, 18offval2 7065 . 2 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹𝑓 𝑀𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝑀(𝐺𝑥))))
4237, 40, 413eqtr4d 2815 1 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝐹𝐵𝐺𝐵)) → (𝐹 𝐺) = (𝐹𝑓 𝑀𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  cmpt 4864  ccom 5254  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  𝑓 cof 7046  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  s cpws 16315  Grpcgrp 17630  invgcminusg 17631  -gcsg 17632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-hom 16174  df-cco 16175  df-0g 16310  df-prds 16316  df-pws 16318  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635
This theorem is referenced by:  evl1subd  19921  frlmsubgval  20325
  Copyright terms: Public domain W3C validator