Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssplit2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwssplit2 19272
 Description: Splitting for structure powers, part 2: restriction is a group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwssplit1.y 𝑌 = (𝑊s 𝑈)
pwssplit1.z 𝑍 = (𝑊s 𝑉)
pwssplit1.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssplit1.c 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwssplit1.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
Assertion
Ref Expression
pwssplit2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑊   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwssplit2
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwssplit1.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑌)
2 pwssplit1.c . 2 𝐶 = (Base‘𝑍)
3 eqid 2770 . 2 (+g𝑌) = (+g𝑌)
4 eqid 2770 . 2 (+g𝑍) = (+g𝑍)
5 simp1 1129 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑊 ∈ Grp)
6 simp2 1130 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑈𝑋)
7 pwssplit1.y . . . 4 𝑌 = (𝑊s 𝑈)
87pwsgrp 17734 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋) → 𝑌 ∈ Grp)
95, 6, 8syl2anc 565 . 2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑌 ∈ Grp)
10 simp3 1131 . . . 4 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉𝑈)
116, 10ssexd 4936 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉 ∈ V)
12 pwssplit1.z . . . 4 𝑍 = (𝑊s 𝑉)
1312pwsgrp 17734 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝑍 ∈ Grp)
145, 11, 13syl2anc 565 . 2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑍 ∈ Grp)
15 pwssplit1.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
167, 12, 1, 2, 15pwssplit0 19270 . 2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹:𝐵𝐶)
17 offres 7309 . . . . 5 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → ((𝑎𝑓 (+g𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑎𝑉) ∘𝑓 (+g𝑊)(𝑏𝑉)))
1817adantl 467 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑎𝑓 (+g𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑎𝑉) ∘𝑓 (+g𝑊)(𝑏𝑉)))
195adantr 466 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑊 ∈ Grp)
20 simpl2 1228 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑈𝑋)
21 simprl 746 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑎𝐵)
22 simprr 748 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑏𝐵)
23 eqid 2770 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
247, 1, 19, 20, 21, 22, 23, 3pwsplusgval 16357 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) = (𝑎𝑓 (+g𝑊)𝑏))
2524reseq1d 5533 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑎(+g𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑎𝑓 (+g𝑊)𝑏) ↾ 𝑉))
2615fvtresfn 6426 . . . . . 6 (𝑎𝐵 → (𝐹𝑎) = (𝑎𝑉))
2715fvtresfn 6426 . . . . . 6 (𝑏𝐵 → (𝐹𝑏) = (𝑏𝑉))
2826, 27oveqan12d 6811 . . . . 5 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → ((𝐹𝑎) ∘𝑓 (+g𝑊)(𝐹𝑏)) = ((𝑎𝑉) ∘𝑓 (+g𝑊)(𝑏𝑉)))
2928adantl 467 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝐹𝑎) ∘𝑓 (+g𝑊)(𝐹𝑏)) = ((𝑎𝑉) ∘𝑓 (+g𝑊)(𝑏𝑉)))
3018, 25, 293eqtr4d 2814 . . 3 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑎(+g𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝐹𝑎) ∘𝑓 (+g𝑊)(𝐹𝑏)))
311, 3grpcl 17637 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
32313expb 1112 . . . . 5 ((𝑌 ∈ Grp ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
339, 32sylan 561 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
3415fvtresfn 6426 . . . 4 ((𝑎(+g𝑌)𝑏) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑎(+g𝑌)𝑏)) = ((𝑎(+g𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
3533, 34syl 17 . . 3 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑌)𝑏)) = ((𝑎(+g𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
3611adantr 466 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑉 ∈ V)
3716ffvelrnda 6502 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐵) → (𝐹𝑎) ∈ 𝐶)
3837adantrr 688 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹𝑎) ∈ 𝐶)
3916ffvelrnda 6502 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑏𝐵) → (𝐹𝑏) ∈ 𝐶)
4039adantrl 687 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹𝑏) ∈ 𝐶)
4112, 2, 19, 36, 38, 40, 23, 4pwsplusgval 16357 . . 3 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝐹𝑎)(+g𝑍)(𝐹𝑏)) = ((𝐹𝑎) ∘𝑓 (+g𝑊)(𝐹𝑏)))
4230, 35, 413eqtr4d 2814 . 2 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑌)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝑍)(𝐹𝑏)))
431, 2, 3, 4, 9, 14, 16, 42isghmd 17876 1 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1070   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  Vcvv 3349   ⊆ wss 3721   ↦ cmpt 4861   ↾ cres 5251  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792   ∘𝑓 cof 7041  Basecbs 16063  +gcplusg 16148   ↑s cpws 16314  Grpcgrp 17629   GrpHom cghm 17864 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-fz 12533  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-hom 16173  df-cco 16174  df-0g 16309  df-prds 16315  df-pws 16317  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-ghm 17865 This theorem is referenced by:  pwssplit3  19273
 Copyright terms: Public domain W3C validator