MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwspjmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwspjmhm 17590
Description: A projection from a product of monoids to one of the factors is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwspjmhm.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwspjmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
pwspjmhm ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pwspjmhm
StepHypRef Expression
1 eqid 2761 . . 3 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2 eqid 2761 . . 3 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
3 simp2 1132 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → 𝐼𝑉)
4 fvexd 6366 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
5 fconst6g 6256 . . . 4 (𝑅 ∈ Mnd → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Mnd)
653ad2ant1 1128 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Mnd)
7 simp3 1133 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → 𝐴𝐼)
81, 2, 3, 4, 6, 7prdspjmhm 17589 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑥 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) MndHom ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴)))
9 pwspjmhm.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
10 pwspjmhm.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
11 eqid 2761 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
1210, 11pwsval 16369 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
13123adant3 1127 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
1413fveq2d 6358 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
159, 14syl5eq 2807 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → 𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
1615mpteq1d 4891 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) = (𝑥 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ↦ (𝑥𝐴)))
17 fvconst2g 6633 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴) = 𝑅)
18173adant2 1126 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴) = 𝑅)
1918eqcomd 2767 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → 𝑅 = ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴))
2013, 19oveq12d 6833 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑌 MndHom 𝑅) = (((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) MndHom ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴)))
218, 16, 203eltr4d 2855 1 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140  Vcvv 3341  {csn 4322  cmpt 4882   × cxp 5265  wf 6046  cfv 6050  (class class class)co 6815  Basecbs 16080  Scalarcsca 16167  Xscprds 16329  s cpws 16330  Mndcmnd 17516   MndHom cmhm 17555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-fz 12541  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-hom 16189  df-cco 16190  df-0g 16325  df-prds 16331  df-pws 16333  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-mhm 17557
This theorem is referenced by:  pwsmulg  17809
  Copyright terms: Public domain W3C validator